与球有关的切、接问题(有答案).docVIP

PAGE PAGE 6 与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ eq \r(\f(2,3))a，CE＝eq \f(\r(3),3)a，则有R＋r＝ eq \r(\f(2,3))a，R2－r2＝|CE|2＝eq \f(a2,3)，解得R＝eq \f(\r(6),4)a，r＝eq \f(\r(6),12)a. (2)正方体与球： ①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝eq \f(a,2)(r为内切球半径)． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝eq \f(\r(2),2)a. ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝eq \f(\r(3),2)a. (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝eq \f(\r(3),2)a. ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)＝eq \f(l2,4)(l为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的内切球 1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝________. 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，其内切球半径为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq \f(6\r(3),π). 角度二：直三棱柱的外接球 2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为 A．2　 B．1 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2) 解析：选C　由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝eq \f(x,2)，MC1＝eq \f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq \r(2)，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝eq \r(2)×1＝eq \r(2). 角度三：正方体的外接球 3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________． 解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2eq \r(3)(R为球的半径)，∴R＝eq \r(3)，∴球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π. 答案：4eq \r(3)π 角度四：四棱锥的外接球 4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A.eq \f(81π,4) B．16π C．9π D.eq \f(27π,4) 解析：选A　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq \r(2). ∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq \r(2))2＋(4－R)2