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高等代数复习提纲(上期) 第一章 多项式 1.1. 数域 1.1.1. 数域的定义. 1.1.2. 一些常见的数域：有理数域、实数域、复数域、ℚ(√2) 、ℚ(√3) 、ℤ(√) 、ℤ(√) 、. . . 1.2. 一元多项式的定义及运算 1.2.1. 一元多项式的基本概念：定义、项、系数、次数、首项以及首项系数、首一多 项式、两个多项式的相等. 1.2.2. 零次多项式与零多项式的区别. 1.2.3. 多项式的运算以及运算性质. 如果 (), ()是非零多项式，那么 ∂ ( () + ()) ≤ max (∂ ( ()), ∂( ())); ∂ ( () ()) = ∂ ( ()) + ∂ ( ()). 1.3. 多项式的整除 1.3.1. 带余除法 1.3.2. 整除的定义及基本性质. 在什么情况下可以写 () ，这个商表示什么？ () 1.4. 最大公因式 1.4.1. 两个多项式的公因式、最大公因式的定义. 1.4.2. 用辗转相除法求两个多项式的最大公因式并将最大公因式表示为这两个多项 式的组合. 1.4.3. ( (), ())表示什么？ 1.4.4. 两个多项式互素的定义及互素的充要条件. 1.4.5. 多项式互素与整除的关系. 1.4.6. 多个多项式的最大公因式以及互素的定义. 1.5. 重因式、重根 1.5.1. 单因式(单根) 、重因式(重根)的定义. 1.5.2. 多项式的形式微商(高阶微商)的定义. 1.5.3. 重因式定理(如果不可约多项式 ()是 ()的重因式( ≥ 1)，那么它是微 ′ 商 ()的 − 1重因式.)及推论. 注：重因式定理的逆命题不对，试举一反例. ′ 1.5.4. 怎样判别一个多项式是否有重因式( ()有重因式⇔ ( (), ()) =∕ 1. 1.6. 多项式函数 1.6.1. 多项式作为形式表达式与多项式函数的关系. 这里定义的多项式函数与数学 分析中的多项式函数有什么不同？多项式作为形式表达式相等的意义是什么？多项式作 为函数相等的意义是什么？ 1.6.2. 余数定理 1 1.6.3. 什么是一个多项式的根？余数定理与多项式的根有何关系？ 1.6.4. P[] 中(≥ 0)次多项式在数域中的根的个数(重根按重数计算)≤ . 由此推出 两个次数都不超过 的多项式对 + 1个不同的数有相同的值，则这两个多项式相等. 1.7. 因式分解 1.7.1. 不可约多项式的定义. 1.7.2. 因式分解及唯一性定理. 1.7.3. 代数基本定理：每个次数≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个根. 1.7.4. 复系数多项式因式分解定理：每个次数≥ 1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，每个次数≥ 1的复系数多项式不可约的充分必要条 件是该多项式的次数等于1. 1.7.5. 实系数多项式因式分解定理：每个次数≥ 1的实系数多项式在实数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 因此，实数域上的次数 2的多项式一 定可约. 怎样判别一个实习数二次多项式在实数域上是否可约？ 1.7.6. 如果是实系数多项式因式 ()的根，则¯也是. 因此，实系数多项式的虚根成 对出现. 1.8. 有理系数多项式 1.8.1. 本原多项式的定义. 任一个有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个 本原多项式的乘积，表示唯一性的意义. 1.8.2. 怎样将有理系数多项式的因式分解的问