九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题（青岛版）.docVIP

PAGE 四点共圆问题大盘点 1. 四点共圆的性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的外角等于内对角。 2. 四点共圆常用的判定方法： 判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。 判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。 如果：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。 判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 如果：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。 判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。 如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A、B、C、D四点共圆。 判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理） 例题 （郑州模拟）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F。 （1）求证：A、E、F、D四点共圆； （2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。 解析：（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=180°，即可证得A，E，F，D四点共圆； （2）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。 答案：（1）证明：∵AE=AB， ∴BE=AB， ∵在正△ABC中，AD=AC， ∴AD=BE， 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC， 即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。 （2）解：如图， 取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE， ∵AE=AB， ∴AG=GE=AB=， ∵AD=AC=，∠DAE=60°，AB=AC ∴△AGD为正三角形， ∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=， 所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为， 由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为。 点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。 【方法定位】 将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。 例题 （河南模拟）如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。 （1）求证：C，D，E，F四点共圆； （2）若GH=6，GE=4，求EF的长。 解析：（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆； （2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC·GD，进而得到GH2=GE·GF。即可 答案： 证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE， 又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。 ∴C，D，E，F四点共圆； （2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。 ∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。 又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。 ∴EF=GF－GE=9－4=5。 点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。 （答题时间：30分钟） 一、选择题 1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（　　） A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组 2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法： ①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。 ②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。 ③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。 其中正确的是（　　） A. ①②