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4. 散度定理（高斯定理） 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 矢量场在空间任意闭合曲面S的通量等于该闭合曲面S所包含体积V中矢量场的散度的体积分，即 在 ，有 对所有 叠加，有 则 证明：对于任意一个小体积元 ，有 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 1.环流（环量）： 矢量对闭合曲线C 的线积分 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 1.5 矢量场的旋度 矢量的环流与产生这种矢量的旋涡源有关 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 2.矢量场的旋度（ ）（矢量） （1）环流面密度(标量) 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 特点：其值与点M 处的方向 有关。 单位面积内的环流。 过点M 作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法 线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限 矢量场在M点处的旋度为一矢量，其模为 M点的环流面密度最大值，其方向为取得 环量密度最大值时面积元的法线方向，即 （2）矢量场的旋度（rotation） 旋度的计算公式: 环流面密度与旋度的关系 例：求 沿着在xoy平面上的一个闭合路径c的 线积分。此闭合路径由在（0，0）和（2， ）之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算 的旋度。 解：回路在平面xoy上，有 则 3. 斯托克斯定理 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 矢量场F沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 在矢量场中，若??A=J?0,称之为旋度场(或旋涡场)，J 称为旋度源(或旋涡源)； 若矢量场处处??A=0，称之为无旋场(保守场)。 1. 矢量场的旋度和散度的意义 矢量场的旋度是矢量函数；矢量场的散度是标量函数。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为 无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为 无散场（或管形场）。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 1.6 无旋场与无散场 2. 散度和旋度的区别 3.旋度的两个重要性质 性质1：旋度的散度恒等于0。 对于一个散度恒为0的矢量 ，可以将其表示为矢量 的旋度。函数 称为无散场F的矢量位函数，简称矢量位。 性质2：标量的梯度的旋度恒等于0。 对于一个旋度恒为0的矢量 ，可以将其表示为某一标量场u的梯度。函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。 4. 拉普拉斯运算 对 求散度称为标量场u的拉普拉斯运算 或 或 称为拉普拉斯算符。 直角坐标系中 对于矢量场的拉普拉斯运算 定义为 例：证明 1. 散度定理（高斯定理） 矢量场在空间任意闭合曲面S的通量等于该闭合曲面S所包含 体积V中矢量场的散度的体积分。 1.7 场论中几个重要定理 2. 斯托克斯（Stokes）定理 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量。 无散场F通过任何闭合曲面S的通量等于0。 无旋场F的线积分与路径无关，沿闭合路径C的环流等于0。 3.格林（Green）定理 若任意两个标量场u和v在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，S为包围空间区域V的封闭面，则标量场u 和v 满足： 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 S V u,v 格林第一定理 格林第二定理 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。 4.亥姆霍兹（Helmholtz）定理 矢量场在空间中连续，则该矢量场可表示为： 无界区域，式中： 有界区域 无界区域 有界区域，式中： 结论： 2.由于 、 ，因而一个矢量场可以分 解为无旋场与无散场组合。 1.矢量场 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的 旋度之和来表示。此标量函数由 的散度和 在边界面S 上的法向分量完全确定；而矢量函数由 的旋度和 在边 界面S上的切向分量完全