基本不等式公开课教学课件.pptVIP

教学目标 　推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 教学重点： 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 * * 平潭城东中学 翁 建 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”） 证明： 1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件： 定理： 如果a, b∈R+，那么 （当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明： ∵ ∴ 即： 当且仅当a=b时 均值定理： 注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 称 为a，b 的算术平均数， 3.我们把不等式 (a≥0,b≥0) 称为基本不等式 称 的几何平均数。 为a，b 把 看做两个正数a，b 的等差中项， 看做正数a，b的等比中项， 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢? 下面请大家一起观察图形： Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞ ≥ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 几何意义：半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______. 例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 即x=y=9 A B D C 若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_______； ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 规律： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；（积定和最小） 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。（和定积最大） 下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？ １．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值． 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件． ２．已知函数　　　　　　　　　　， 求函数的最小值． 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件． 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值. 1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值． 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 练习题： 当x=6,y=4时,最小值为48 最小值为8 3已知2x+3y=2(x＞0,y＞0);则xy的最大值是__________