基本不等式公开课课件.ppt

授课人 林文玉 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ a b 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 　　面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么　　　 　　样的不等关系？ 探究１： S_____S′ 问：那么它们有相等的情况吗？ A D B C E F G H b a 重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 特别地，若a0，b0，则 ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围： a0,b0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞ ≥ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 几何意义：半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a0,b0 填表比较： 注意从不同角度认识基本不等式 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______. 例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 即x=y=9 A B D C 若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_______； ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xy m2 A B D C 得 144≥2xy 当且仅当