关于微元法PPT演示.ppt

* 关于“微元法”的研究 朱建廉 南京市 金陵中学 关于“微元法”的理性研究 关于“微元法”的运用研究 关于“微元法”的理性研究 1、基本功能 2、基本原理 3、操作步骤 4、取元原则 5、换元目标 6、换元技巧 1、基本功能 ——“化变为恒” 即：把变化的事物与过程转化为不变的事物与过程 2、基本原理 ——“釜底抽薪” 即：通过限制“时空”来限制“变化”而实现化变为恒 3、操作步骤 ——取元 ——表达 ——叠加 （1）“取元” （2）“表达” （3）“叠加” ——选取“微元”反映“元”事物或“元”过程 ——视“元”事物或“元”过程为恒定而表达 ——在叠加域内对“元”事物（过程）叠加 4、取元原则 ——可加 ——有序 ——平权 （1）“可加性”原则 （2）“有序性”原则 （3）“平权性”原则 ——选取“微元”必须具备“可加性”特征 ——所选“微元”呈“有序性”而便于叠加 ——使“微元”的“权函数”为常量而平权 5、换元目标 平权 如果 换元 平权 与 均为常量 6、换元技巧 （1）“时间元”与“空间元”间的相互代换 ——运动的时空代换 （2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换 ——维度的适当转换 （3）“线元”与“角元”间的相互代换 ——形式的适当调整 （4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换 ——对称的充分利用 关于“微元法”的运用研究 v 例1：如图所示，人牵着绳在岸上运动，而绳绕过定滑轮牵着小船在水中运动。若人的运动是匀速的，则小船的运动是 （ ） A、加速运动 B、匀速运动 C、减速运动 D、无法确定 v 解： 设人的速度为v，小船的速度为u，取时间微元Δt，有 θ A B C 船靠岸 θ变大 选A 由 知： u变大 例2：如图所示，正方形闭合导线框以速度v0在光滑绝缘水平面上匀速运动，穿过有理想边界的匀强磁场区域后以速度v做匀速直线运动，则当完全处在磁场区域内时的运动速度u为 （ ） A、u (v0+v)/2 B、u = （v0+v）/2 C、u (v0+v)/2 D、无法确定 v0 解： 同乘时间元Δt 平权 入场 出场 所以选B 解： （1）fB不做功，于是 例3：在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，质量为m、带正电q的小球从O点处由静止释放，其运动轨迹如图中曲线所示，重力加速度为g。求： x y O B P（x，y） （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（qEmg） 的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。 解： （2）沿水平方向的动力学方程为 于是 而 解： （3）仍沿用（2）中的分析过程 以（qE-mg）替换mg 例4：如图所示，空间存在着水平方向匀强磁场，磁感应强度B=5T,磁场区域的上、下边缘相距h=0.5m ，边长 L=0.2m、质量m0=0.1kg的正方形导线框abcd 与质量m=0.5kg的小物块用跨过两个定滑轮的轻质细线相连，开始时线框的ab边距磁场区域下边缘h0=0.6m，而小物块则位于倾角θ=370的斜面上的O点处，将小物块和线框由静止释放，小物块沿斜面滑至P点时线框的ab边恰好进入磁场，接着小物块继续沿斜面下滑s=0.6m至Q点而静止，线框所在平面始终与磁场方向垂直，斜面上OP段光滑而PQ段与小物块间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度取g=10m/s2 ,sin370=0.6。求 Q a b c d m 0 P θ h0 h （1）线框的ab边刚进入磁场时的速度v0 ; （2）线框中产生的焦耳热 Q ; （3）线框的电阻R。 解：（1）从静止释放到线框的ab边恰好进入磁场的过程中，小物块和线框构成的整体机械能守恒，于是有 由此解得 （2）从静止释放到小物块与线框最终静止，小物块减少的重力势能分别转化为线框增加的重力势能、小物块在PQ段克服摩擦做功产生的摩擦热和线框中产生的焦耳热，于是 由此解得 （3）设线框在进、出磁场的过程中某时刻速度为v，线框全部进入磁场时的速度为u，则以小物块和线框构成的整体为研究对象可得 考虑到 所以线框全部进入磁场时将做匀速直线运动，而 由此可得 x：0—L v：v0—u x：0—L/2 v：u—0 针对微元表达式在“入场”和“出场”阶段实施叠加 于是有 *