调和点列在平面几何中的应用.docVIP

. .. 调和点列在平面几何中的应用 调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。下面先给出调和点列的定义： 定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。 由交比的定义：交比（A、B、C、D）= 知A、B、C、D四点构成调和点列的充要条件是交比（A、C、B、D）=-1 调和点列具有以下常用性质： 性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC被直线DEF所截，BE、CD交与点G，AG的延长线交BC与点H，则B、H、C、F成调和点列 证明：由塞瓦定理，，故 由梅尼劳斯定理，，故 所以 由定义知，B、H、C、F成调和点列 性质2：若A、B、C、D成调和点列，O为平面上一点，则任意一条直线截OA、OB、OC、OD得到的四个点也成调和点列。我们称由O发出的4条射线OA、OB、OC、OD为调和线束。 这是调和点列的一个重要性质。 证明：如图，设直线l交OA、OB、OC、OD于E、F、G、H 过A作l的平行线交OB、OC、OD于B1、C1、D1 由平行线分线段成比例知 交比（E、G、F、H）=交比（A、C1、B1、D1） 由梅尼劳斯定理，， 所以交比（A、C1、B1、D1）==交比（A、C、B、D）=-1 故交比（E、G、F、H）=-1 即E、F、G、H成调和点列。 证毕 性质3：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和 证明: ① 又 而 故①成立。得证！ 注：本题说明，过圆所在平面上任意一点的直线与圆的两个交点、与此点关于圆的极线的交点、此点本身四点构成调和点列。 事实上，可以将此性质中的圆推广为一般的二次曲线 推广1：如图，椭圆外一点A关于椭圆的极线为BC，过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。 证明：暂略。 性质4： 证明： 而 // 性质5：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足 则必有MC平分，MA外角平分 这是调和点列应用中相当重要的一个性质。 证明：反证法。 反设MC不平分，作MC’平分角交BD与C’，MA’外角平分角交DB延长线与A’ ，则 由内角平分线定理， 有外角平分线定理， 所以② 由A、B、C、D成调和点列知 注意到成立 成立 所以 与②矛盾！ 所以MC平分，MA外角平分 // 下面是几道有关调和点列的经典题目 题1 已知三角形ABC内切圆I切边BC与D（ABAC） AH为BC边上的高，M为AH中点 连DM并延长交圆I于点P 求证： 设圆O为三角形BPC的外接圆，求证：圆O与圆I内切于P 分析：要证即证PD平分角BPC 由此我们想到调和点列的性质5 为此我们取点E使B、D、C、E四点成调和点列 由性质五，下只要证 注意到，只要证P、M、H、E四点共圆即DM*DP=DH*DE① 设K与D为内切圆上的两个对径点，则 从而 所以DM*DP=MH*KD=r*AH（r为内切圆半径）② 由B、D、C、E成调和点列知： 所以 又 而 =DH*DE③ 由②及③知①成立，故 从而 // 取弧BC上的中点N，由1）知P、D、N共线 由引理：两圆内切于P，MN为其中一圆切线，切点为A，B为弧MN中点，则P、A、B共线 易知结论成立 题2 已知圆I内切于三角形ABC，切BC于点D，连AD，设E为AD上一点，连AD，设E为AD上一点，连BE、CE分别交圆I于M，N连BN、CM 求证：BN、CM、AD共点 证： 设FG交CB于点K 即K、B、D、C四点调和 由性质一，只要证K、M、N共线即可证明BN，CM，ED共点 反设KM交圆I与N’（除N外的一点） CN’交BE于点L,LD交MN’于T，AD交MN’于T’ 由K、B、D、C四点调和及性质2知K，M，T，N’四点调和 注意到A点极线过K，所以K点极线过A 又K点极线过D，故DA为点K关于圆I的极线 由性质3知K、M、T’、N’调和 故T=T’从而LD与AD重合 即L与E重合，N与N’重合 矛盾！ 故K、M、N共线 原命题得证！ 题3 已知X为圆O外一点，过X作圆O的切线，切点为A、B 过X作圆O的割线XCD满足 CA与BD交于F，CD与AB交于G，BD与GX中垂线交于H 求证：X、F、G、H四点共圆 证： 如图，易知X、D、G、C四点调和（由性质3） 又 由性质5知FD平分 所以FGH的外接圆半径为，FXH的外接圆半径为 由H在GX的中垂线上知：HG=HX 又，所以FGH的外接圆半径等于FXH的外接圆半径 从而 若是前者，有 GD=XD不可能！ 故只能为 从而F，G，H，X四点共圆 // 在平面几何中，调和点列的应用是十分有用和广泛的，他