向量法在中学数学解题中的应用.doc

向量法在中学数学解题中的应用 向量是中学数学领域的一个重要内容，向量分为平面向量和空间向量．本文首先对中学数学领域里的向量知识作一系统的归纳整理，然后通过具体例题说明向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用． １向量的有关知识 1.1平面向量 向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等． (1)向量的三种线性运算及运算的三种形式. 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言． 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 记 则 实数与向量 的乘积 记， 则 两个向量 的数量积 记， 则 运算律 向量加法：，； 实数与向量的积：，，； 两个向量的数量积：，， ． (2)两个向量平行的充要条件 符号语言：若∥，且，则； 坐标语言：设，则∥． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言：⊥； 坐标语言：设，则⊥． (4)线段定比分点公式 如图，设,则定比分点向量式： ； 定比分点坐标式：设， 则　　　　． (5)平移公式： 如果点按向量平移至，则，分别称，为旧、新坐标，为平移法则． 1.2空间向量 (1)共线向量 共线向量定理：对空间任意两个向量，∥存在实数使. (2)共面向量 称平行于同一平面的向量为共面向量. 共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面存在两个实数使． (3)空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组, 使． (4)两个向量的数量积 空间两个非零向量的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同. ，当时，称向量 与互相垂直，记作⊥． (5)空间向量的坐标运算 空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述． 2向量法在中学数学解题中的应用 2.1在代数解题中的应用 (1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式, ,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题． 例1求函数的最大值． 分析：观察其结构特征，由联想到向量的数量积的坐标表示． 令，则，且．故 ，当且仅当与同向，即时取等号，从而问题得到解决． (2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷． 例2设，其中．求证:=． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令 ，则易知与的夹角为0或π，所以∥，，问题得证． (3)解方程(或方程组) 有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3求实数使得它们同时满足方程： 和． 分析：将两方程相加并配方得，由此联想到向量模，令，则， ，又因为，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当==时等式成立，问题解决． (4)解复数问题 因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决． 例4已知复平面内正方形的两对角顶点和所对应的复数分别为和 ，求另外两顶点和所对应的复数． 分析：先求，为此得求．因，而是依逆时针方向旋转，同时将的模缩为倍，因此先求．而，故对应的复数是 ，于是对应的复数是 又，所以可求．同理可求，问题解决． (5)求参变数的范围 求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果. 例5设，且，试讨论 的范围． 分析：由联想到向量的模，令，则 ，.由得 ，解得，由对称性便可得的范围． 2.2在三角解题中的应用 向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件． (1)求值 例6已知，求锐角的值． 分析：由已知得，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令，则， ．由得，所以， 即，代入已知等式便可求得的值． (2)证明恒等式 例7求证： 分析：由等式右边联想到向量的数量积，令， 则，且易知与的夹角为，则， 又，则问题得证． 2.3在平面几何解题中的应用 利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题． 例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形. 分析：如图，分别为三边上的中线，若要证明 能作成一个三角形，只须证明． 证明：设=, =, =,则，而 ，, 所以　． 于是　，即以为边可构成一个三角形． 2.4向量在解析几何中的应用 平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐