回归方程及回归系数的显著性检验.docxVIP

§3 回归方程及回归系数的显著性检验 　 １、回归方程的显著性检验 (1) 回归平方和与剩余平方和 　　建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和 　　　　, 其中: 　　称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。 　　称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。总的离差平方和的自由度为。 　　如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。 (2) 复相关系数 　　为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标 　　　　, (3.1) 或 　　　　, (3.2) 称为复相关系数。因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。显然。复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。 (3) 检验 　　要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设 　　　　, (3.3) 当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。检验假设应用统计量 　　　　, (3.4) 这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即 　　　　, (3.5) 用此统计量可检验回归的总体效果。如果假设成立, 则当给定检验水平α下, 统计量应有 　　　　≤, (3.6) 对于给定的置信度α, 由分布表可查得的值, 如果根据统计量算得的值为, 则拒绝假设, 即不能认为全部为O, 即个自变量的总体回归效果是显著的, 否则认为回归效果不显著。 　　利用检验对回归方程进行显著性检验的方法称为方差分析。上面对回归效果的讨论可归结于一个方差分析表中, 如表3.1。 表3.1 方差分析表 来 源 平方和 自由度 方 差 方差比 回 归 　 剩 余 总 计 　 　 　　根据与的定义, 可以导出与的以下关系: 　　　　, 　　　　。 　　利用这两个关系式可以解决值多大时回归效果才算是显著的问题。因为对给定的检验水平α, 由分布表可查出的临界值, 然后由即可求出的临界值: 　　　　, (3.7) 当时, 则认为回归效果显著。例3.1 利用方差分析对例2.1的回归方程进行显著性检验。 　　方差分析结果见表3.2。 表3.2 来 源 平方和 自由度 方 差 方差比 回 归 剩 余 总 计 　 　 取检验水平α＝0.05, 查分布表得, 而, 所以例2.1的回归方程回归效果是显著的。 　 ２、回归系数的显著性检验 　　前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果, 但总体回归效果显著并不说明每个自变量对因变量都是重要的, 即可能有某个自变量对并不起作用或者能被其它的的作用所代替, 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除, 这样可以建立更简单的回归方程。显然某个自变量如果对作用不显著, 则它的系数就应取值为0, 因此检验每个自变量是否显著, 就要检验假设: 　　　　, , (3.8) (1) 检验: 　　在假设下, 可应用检验: 　　　　, , (3.9) 其中为矩阵的对角线上第个元素。 　　对给定的检验水平α, 从分布表中可查出与α对应的临界值, 如果有, 则拒绝假设, 即认为与0有显著差异, 这说明对有重要作用不应剔除; 如果有则接受假设, 即认为成立, 这说明对不起作用, 应予剔除。 (2) 检验: 　　检验假设, 亦可用服从自由度分别为1与的分布的统计量 　　　　, (3.10) 其中为矩阵的主对角线上第个元素。对于给定的检验水平α, 从分布表中可查得临界, 如果有, 则拒绝假设, 认为对有重要作用。如果, 则接受假设, 即认为自变量对不起重要作用, 可以剔除。一般一次检验只剔除一个自变量, 且这个自变量是所有不显著自变量中值最小者, 然后再建立回归方程, 并继续进行检验, 直到建立的回归方程及各个自变量均显著为止。