(典型题高考数学二轮复习 知识点总结 函数与方程函数的应用.docVIP

PAGE 　函数与方程及函数的应用 1． 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2． 函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 考点一　函数的零点 例1　(1)(2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 (　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ln x－x2＋2x?x0?，,2x＋1?x≤0?，))的零点个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)由于abc，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋00，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. (2)依题意，当x0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点． (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． (1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________. 答案　(1)B　(2)－1 解析　(1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f′(x)＝2xln 2＋3x20， 所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增， 且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10， 所以有1个零点． (2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根． 设y1＝ax，y2＝－x＋b， 故x0就是两函数交点的横坐标，如图， 当x＝－1时，y1＝eq \f(1,a)＝log32y2＝1＋b＝1＋log32， ∴－1x00，∴n＝－1. 考点二　与函数有关的自定义问题 例2　若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“eq \f(1,2)－伴随函数”至少有一个零点． 其中正确结论的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．