三角函数、双曲函数及它们的反函数的教学探讨.doc

龙源期刊网 三角函数、双曲函数及它们的反函数的教学探讨作者：张平平 徐阳栋来源：《教育教学论坛》2015年第24期 ????????摘要：三角函数与反三角函数均属于基本初等函数，而双曲函数及它们的反函数在工程当中应用非常广泛，因此它们都是一些非常重要的函数。由于三角函数与双曲函数的起源及性质很相似，因此本文欲用类比的方式来阐述三角函数、双曲函数及它们的反函数的相关概念及性质。 ????????关键词：三角函数;双曲函数;反函数 ????????中图分类号：O13 ; ; 文献标地志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）24-0185-02 ???????? 本文从三角函数与双曲函数的起源、三角函数与其反函数的性质及它们之间的关系、双曲函数与其反函数的性质及它们的关系三部分进行考虑。 ????????1 三角函数与双曲函数的起源 ????????对于单位圆周x ;+y ;=1上的任意一点P（x，y）的坐标x，y分别可以表示成极角θ的余弦与正弦函数，即x=cosθ，y=sinθ。可知θ等于图1阴影部分面积的2倍，同时也等于极角θ所对应的弧长，并把它们的比值tanθ= ;及其倒数cotθ= ;分别称为正切函数和余切函数，因此三角函数也称为圆函数。 ????????对于标准双曲函数的右支x ;-y ;=1，x0上的任意一点Q（x，y）的坐标为x，y。令u等于图2阴影部分面积的2倍，经计算得出x= ;，y= ;，具体的计算过程可参照文献[1]。因此就把函数shu= ;，chx= ;分别称为双曲正弦和双曲余弦，并把它们的比值thu= ;及其倒数cthu= ;分别称为双曲正切与双曲余切。 ????????2 三角函数与其反函数的性质及它们之间的关系 ????????对于正弦函数y=sinx，其定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]的奇函数，并以2π为最小正周期的周期函数。函数在区间[2kπ- ;，2kπ+ ;]上单调递增，在区间[2kπ+ ;，2kπ+ ;]上单调递减。 ????????由于周期函数并不是单射，因此并没有反函数，但是对其某个单调区间而言，反函数是存在的。把正弦函数y=sinx在单调区间[- ;， ;]上的反函数称为反正弦主值函数，简称为反正弦函数，记为y=arcsinx。由原函数与其反函数的关系可知：反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1，1]，值域为[- ;， ;]，单调递增的有界函数。 ????????对于余弦函数y=cosx，其定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]的偶函数，并以2π为最小正周期的周期函数。函数在区间[（2k-1）π，2kπ]上单调递增，在区间[2kπ，（2k+1）π]上单调递减。 ????????类似地，把余弦函数y=cosx在单调区间[0，π]上的反函数称为反余弦主值函数，简称反余弦函数，记为y=arccosx。由原函数与其反函数的关系可知：反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1，1]，值域为[0，π]，单调递减的有界函数。 ????????类似地可以讨论正切与其反函数，余切与其反函数的相关性质。 ????????三角函数之间主要有以下一些关系： ????????tanx= ;;cotx= ;; ????????sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny; ????????sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny; ????????cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny; ????????cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny; ????????sin ;x+cos ;x=1. ????????3 双曲函数与其反函数的性质及它们的关系 ????????对于双曲正弦函数shx= ;，其定义域为（-∞，+∞），值域为（-∞，+∞）的奇函数，并在区间（-∞，+∞）上单调增加。当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线y= ;e ;，在第三象限内接近于曲线y=- ;e ;。 ????????由于双曲正弦函数是单调函数，因此存在反函数。经计算很容易得到其反函数的表达式，并记为arshx=ln（x+ ;），称为反双曲正弦函数。由反函数与原函数的关系可知：反双曲正弦函数y=arshx的定义域和值域均为（-∞，+∞）的奇函数，且在（-∞，+∞）上单调递增。 ????????对于双曲余弦函数y=chx= ;，其定义域为（-∞，+∞），值域为[1，+∞）的偶函数。在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线y= ;e ;，在第二象限内接近于曲线y= ;e ;。 ????????由于双曲余弦函数是偶函数，而偶函数不是单射，因此并不存在反函数。但是对其某个单