2011-2017新课标高考数学导数分类汇编(文).docx

PAGE PAGE 1 2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （1）求、的值； （2）证明：当，且时， 【解析】 （1） 由于直线的斜率为，且过点， 故 即 解得，。 （2）由（1）知f(x)=，所以， 考虑函数，则， 所以x≠1时h′(x)＜0，而h(1)=0 故时，h(x)0可得，时，h(x)0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x) = ex-ax-2 （1）求f (x)的单调区间 （2）若a=1，k为整数，且当x0时，(x-k) f ′(x)+x+10，求k的最大值 【解析】 （1）的定义域为，， 若，则，所以在单调递增. 若，则当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）由于，所以. 故当时，等价于. 令，则. 由（1）知，函数在单调递增，而，， 所以，在存在唯一的零，故在存在唯一的零点. 设此零点为，则. 当时，；当时，. 所以在的最小值为. 又由，可得，所以. 由于①式等价于，故整数的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 【解析】 (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4. 故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·. 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)． 【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝x2e－x. (1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 【解析】 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e－xx(x－2)．① 当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2. (2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l在x轴上的截距为m(t)＝. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令h(x)＝(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)； 当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)． 所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞]． 综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞]． 【2014新课标1】21．设函数，曲线处的切线斜率为0 （1）求b; （2）若存在使得，求a的取值范围。 【解析】 （1），由题设知 ,解得b ?1 （2） f (x)的定义域为(0,?∞),由(1)知, ， (i)若，则，故当x∈(1,?∞)时, f (x) ??0 , f (x)在(1,?∞)上单调递增. 所以,存在≥1, 使得 的充要条件为，即 所以??1 ??a ?? ?1; (ii)若，则，故当x∈(1, )时, f (x) ?0 , x∈()时, ，f (x)在(1, )上单调递减，f (x)在单调递增. 所以,存在≥1,, 使得 的充要条件为， 而，所以不符合题意. (ⅲ) 若，则。 综上，a的取值范围为： 【2014新课标2】21. 已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2. （1）求a； （2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。 【解析】 （1）， 曲线在点（0，2）处的切线方程为，由题设得，所以 （2）由（1）知， 设 由题设知 当时，，单调递增，， 所以在有唯一实根。 当时，令，则 在单调递减，在单调递增，所以 所以在没有实根 综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。 【2015新课标1】21. 设函数。 （1）讨论的导函数零点的个数； （2）证明：当时，。 【解析】 【2015新课标2】21. 已知. （1）讨论的单调性；