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第五章 连续系统的计算机模拟技术 1 微分方程建模法 微分方程建模方法是研究函数变化规律的有力的工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。 微分方程模型的建立常常有如下步骤： 翻译或转化 在实际问题中，有许多表示导数的常用词，如速率、增长率（生物学或人口问题中）、衰变（放射性问题）以及边际（经济）等。 建立瞬间表达式 根据自变量有微小改变时因变量的增量，建立起在时段上的增量表达式，令，即得到的表达式。 配备物理单位 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位。 确定条件 这些条件是关于系统在某一特定时期或边界上的信息，他们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分的给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。 建立微分方程模型较常用的有两种方法： 按变化规律直接列出方程 即利用人们熟悉的数学、物理、化学等学科中规律，如牛顿第二定律等，对实际问题直接列出微分方程。 模拟近似法 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定条件下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。 建立微分方程模型只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但大多数微分方程是求不出其解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的手段。 1新产品销售的Malthus模型 新产品销售的Malthus模型 著名的英国统计学家托马斯?马尔萨斯（Thomas Malthus）在1798年提出了 商品广告模型 一个新产品要在市场打开销路，产品质量固然重要，广告宣传也是不可忽视的，随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越重要了，它是商品促销的强有力手段，然而，广告与销售之间的关系如何？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业，对于那些为推销商品做广告的企业更为重要。下面简要介绍独家销售的广告模型。 首先假设，（1）一般而言，商品的销售速度回音做广告宣传而增加，但这种增加有一定限度，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论在用和种形式的广告宣传，销售速度都将减慢。 （2）自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售量增加而减小。 （3）令s(t)为t时刻商品销售速度：A(t)为t时刻广告水平（以费用表示），M为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；λ为衰减因子，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度，λ0，且为常数。 根据上述假设，得数学模型： （1） 其中，P为响应系数，即A(t)对s(t)的影响能力，P为常数。 由（1）式可看出，当s=M或A(t)=0,都有 为了求解（1）式，不妨选择一个广告策略： A 常量 0tτ A(t)= 0 t≥τ （2） 在（0，τ）时间内，用于广告花费为a，则 代入（1）,可得： 令 可得到 （3） 其解为： （4） 又令s(0)=s0 则 当t≥τ时，由（1）和（2）式，得到： 通解为： 而t=τ s(t)=s(τ) 所以 可得 0tτ s(t)= t≥τ s(t)的图形为 s(t)s s(t) s0 T 下面用某种商品的例子讨论模型参数估计和检验,假定从2000年2月到2001年1月在某小城内作广告费用和销售量的调查数据来说明参数估计,其调查结果(每月调查一次)如图所示。 7000 2500 7000 5000 3500 2500 储量（件） 广告费（元） 5000 2000年 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1（2001年） 为便于参数估计，将（1）离散化，得 （5） （5）式是关于参数P，M，λ的线性方程，把11个月调查的结果代入（5）式，利用最小二乘法可以得到： 把参数代入（1）式得 （6） （6）式即为关于该商品的广告模型。 下面检验模型(6)