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应力和应变变换 MA 02139 ，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001 年 5 月 14 日 引言 坐标轴旋转时的变换是材料力学中最常见的问题之一。例如，我们已经知道作用在x 和 1 y 平面上 的应力，但其实更感兴趣的是与x 轴有某一夹角（比方说 30º，如图 1 所示）的 平面上的应力，因为这些平面可能是最密堆积（close-packed ）的原子平面2 ，沿这些平面容 易发生滑移；或者是两块木材以这个角度 “嵌接”后胶合在一起。因此我们要寻找一种把应 力变换到新的 ′ ′ x y 平面的方法。 图 1 二维情况下坐标轴的旋转 这种变换在应力和应变分析中是非常重要的，这既因为在计算单元体的临界值时需要这 些变换，也因为从它们的变换性质中，我们可以很清楚地看到应力和应变的张量属性。其他 一些量，如转动惯量和曲率，其变换方式也与应力和应变类似。所有这些量都是二阶张量， 在本模块的后面部分我们将略述这一重要概念。 直接方法 应力变换的规则可直接从分析静力平衡得出。例如，考虑图 2 所示的单轴拉伸情况，此 1 指外法线方向分别沿 x 和 y 轴的平面，下同。——译者注 2 晶体总是沿着确定的晶面和晶向发生滑移，通常就是沿最密堆积的平面和方向。这是因为在这些平面和 方向上，原子间距最短，键合最紧，所以它们是最强的；而这些平面之间，间距最大，因此是它们键合最 弱的地方，沿这样的平面和方向滑移，使原子排列发生混乱的程度最小，从而也就易于发生滑移。上述说 明可参见固体物理的相关内容。——译者注 1 时除σ 之外的所有应力均为零。如果想知道某斜截面上的应力σ 和τ ，可用该斜截面和 ′ ′ ′ y y x y 横截面从试样中 “切出”一个三角形隔离体，并画出其受力图。这里的关键是要注意：这些 被变换应力所作用的截面面积不同于垂直y 轴的截面面积，所以截面面积和作用在截面上的 应力都需要“变换”。由y ′方向（垂直于斜截面的方向）的受力平衡可得： 图2 拉伸试样斜截面上的应力 ( ) ⎛ A ⎞ σ A cosθ σ ′⎜ ⎟ y y ⎝cosθ⎠ σ σ cos2 θ ( 1) ′ y y 类似地，由斜截面切线方向的受力平衡可得