[工学]离散数学-第02章-计数问题.ppt

* 例2.4.5 设1到10中任意选出六个数, 那么其中有两个数的和是11。 证明 (1) 构造5个鸽笼： A1={1,10}，A2={2,9}，A3={3,8}， A4={4,7}，A5={5,6} (2) 选出的6个数为鸽子. 根据鸽笼原理，所选出的6个数中一定有两个数属于同一个集合，这两个数的和为11。 * 定理2.4.5 若有n只鸽子住进 m (nm) 个鸽笼，则存在一个鸽笼至少住进 +1只鸽子。这里， 表示小于等于 x 的最大整数。 * 例2.7.2 某一制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产盘子的重量控制在100克到100.1克之间。现需要制成重量相差不超过0.005克的两铁盘来配制一架天平，问该工厂至少要生产多少铁盘才能确保得到一对符合要求的铁盘。 2.7 计数问题的应用 * 例2.7.2 解 将铁盘按重量分类， 所有100克到100.005克的分为第一类； 100.005克到100.01克的分为一类； 100.01克到100.015克的又为一类，….， 最后，100.095克到100.1克为一类，共计20类， 由鸽笼原理知，若该工厂生产21个铁盘，那么就能得知有两个铁盘属于同一类，因而它们之间的重量差将不超过0.005克。 * 练习: P44 16, 20 把5个顶点放到边长为2的正方形中, 则其中至少有两个点的距离小于等于 。 证法: 将边长为2的正方形分成4块边长为1的正方形。 在由 a,b,c,d 四个字构成的 n 位符号串中, 求 a,b,c 至少出现一次的符号串的数目。 解法：全集U = {由 a,b,c,d 四个字构成的 n 位符号串} A = { a不出现的n 位符号串 } B = { b不出现的n 位符号串 } C = { c不出现的n 位符号串 } * 2.8 本章总结 1、乘法原理和加法原理的基本含义； 2、r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式； 3、容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用； * 习题类型 （1）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用容斥原理的计算； （2）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。 * 作业 第44页 17, 21 预习: 第3章 命题逻辑 福建农林大学离散数学课程组 * 离 散 数 学 * * 第一篇 预备知识 第2章 计数问题 * 2.0 内容提要 容斥原理与鸽笼原理 3 乘法原理和加法原理 1 排列与组合 2 * 2.1 本章学习要求 重点掌握 一般掌握 了解 1 1 计算排列组合 2 利用容斥原理 计算集合基数 3 计数问题的应用 2 鸽笼原理的简单应用 * 2.2.1 乘法原理 如果一些工作需要 t 步完成，第一步有 n1 种不同的选择，第二步有 n2 种不同的选择，… ，第 t步有 nt 种不同的选择，那么完成这项工作所有可能的选择种数为： * 2.2.2 加法原理 假定 X1, X2, …, Xt 均为集合，第 I 个集合 Xi 有 ni个元素。如 {X1, X2, …, Xt} 为两两不相交的集合，则可以从 X1, X2, …, Xt 中选出的元素总数为： n1 + n2 + … + nt。 即集合 X1∪X2∪…∪Xt 含有 n1 + n2 + … + nt 个元素。 * 2.3 排列与组合 从某个集合中有序的选取若干个元素的问题，称为排列问题。 * 2.3.1 排列问题 定义2.3.1 从含 n 个不同元素的集合S中有序选取的 r 个元素叫做 S 的一个 r -排列，不同的r -排列总数记为 P(n, r)。 如果r = n，则称这个排列为 S 的一个全排列，简称为 S 的排列。 显然，当 rn 时，P(n, r) = 0。 * 例2.3.1 解 从含3个元素的不同集合S中有序选取2个元素的排列总数为6种。 如果将这3个元素记为A、B和C，则6个排列为 AB, AC, BA, BC, CB, CA。 从含3个不同元素的集合S中有序选取2个元素的排列总数。 * 定理2.3.1 对满足 r≤n 的正整数 n 和 r 有 第r位 第r-1位 第3位 第2位 第1位 n n -1 n-2 … … n-(r-2) 图2.3.1 n-(r-1) * 推论2.3.2 n个不同元素的排列共有n！