18-19学年高一数学拓展精练1.docVIP

数学知识复习 拓展精练 （1） 1 . 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）当时,求集合； （2）若,求实数的取值范围. 2. 已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上 的动点． (1) 是否无论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论； (2) 求直线PA与底面ABCD所成角的正切值. 3.如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，BC＝CD＝eq \f(1,2)AB＝2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体 A－BCDG. (1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG； (2)求三棱锥C－ABD的体积． 4.已知函数（为实数，，）． （1）当函数的图像过点，且方程有且只有一个根，求的表达式； （2）若 当，，，且函数为偶函数时，试判断能否大于？ 5. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2eq \r(3)，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上． (1) 求二面角P－DB－C的正弦值； (2) 求点C到平面PBD的距离． 6.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且eq \f(AE,AC)＝eq \f(AF,AD)＝λ(0λ1)． (1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明； (2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由． 1解：(Ⅰ)当时, 由已知得. 解得. 所以. …………………2分 (Ⅱ) 由已知得. …………………3分 ①当时, 因为，所以. 因为，所以，解得; ……………5分 ②若时, ，显然有，所以成立; ……………7分 ③若时, 因为，所以. 又，因为，所以,解得.…9分 综上所述,的取值范围是. ……………10分 2解：　(1)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.------1分 证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. ∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC. ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.----------6分 （2）面ABCD,故即为直线PA与底面ABCD所成的角，------8 -----------12 3 (1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变，∴CD∥BG. ∵E、F分别为线段AC、BD的中点，∴在△ACD中，EF∥CD， ∴EF∥BG.-----------3 （注：要用平行公理进行直线EF∥BG的证明，否则扣除2分） 又EF?平面ABG，BG?平面ABG，∴EF∥平面ABG.-------6 (2)解：由已知得BC＝CD＝AG＝2，证AG⊥平面BCDG，即点A到平面BCDG的距离AG＝2， ∴VC－ABD＝VA－BCD＝eq \f(1,3)S△BCD·AG＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq \f(4,3).----12分（缺AG⊥平面BCDG证明过程扣2分） 4解：（1）因为，所以. 因为方程有且只有一个根，所以. 所以. 即，. 所以. ………4分 （2）为偶函数，所以.　所以. 所以　 因为，不妨设，则.又因为，所以. 所以. 此时. 所以． …………… 12分 5.证明：（1）过O作OE⊥BD于点E，连接PE ∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，∴BD⊥PE，∴∠PEO为二面角P－BD－C的平面角， 在△POE中，PE＝3，OE＝1，PO＝2eq \r(2)，则sin∠PEO＝eq \f(2\r(2),3)；----6分 (2)VC－PBD＝VP－BCD，∴eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×2\r(3)))×h＝e