全等三角形性质和判定.docVIP

PAGE PAGE 1 全等三角形的性质和判定 要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 要点三、全等三角形的性质　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点四、全等三角形的判定 （SSS、SAS、ASA、AAS、HL） 全等三角形判定一（SSS，SAS） 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． 证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴PM＝QM 在△RPM和△RQM中， ∴△RPM≌△RQM（SSS）． ∴ ∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）． 即RM平分∠PRQ. 举一反三： 【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC. 类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE． 证明： ∵∠1＝∠2 ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴BC＝DE（全等三角形对应边相等） 3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论． 证明：延长AE交CD于F， ∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形 ∴AB＝BC，BD＝BE 在△ABE和△CBD中 ∴△ABE≌△CBD（SAS） ∴AE＝CD，∠1＝∠2 又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90° ∴AE⊥CD 举一反三： 【变式】已知：如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上， 求证：QC＝QB 类型三、全等三角形判定的实际应用　 4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明． 【答案与解析】 证明：在△DEH和△DFH中， ∴△DEH≌△DFH(SSS) ∴∠DEH＝∠DFH． 一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（ ） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（ ） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（ ） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.