42常系数线性微分方程的解法.ppt

例6： 解 解得特征根为： 故方程的通解为: 例7： 解 解得方程的特征根为： 故方程的通解为: 三、常系数非齐线性方程的解法 (一) 常规方法 1、先求齐次方程的通解； 2、常数变易法； 3、通解+特解。 (二) 比较系数法——特解的求法 1、类型I: 则方程有特解形式： 其中 例8 解 （1）齐次方程为： 所以，齐次方程的通解为： 比较系数得 则特征方程为： （2）求特解 代入原方程得: 因此原方程的通解为: 例9 解 （1）齐次方程为： 则特征方程为： 所以，齐次方程的通解为： 比较系数得 （2）求特解 代入原方程得: 因此原方程的通解为: 2、类型II: 则方程（4.32）’’有特解形式： 其中 解 （1）对应齐次方程的特征方程为： 故可设特解为： 例10： 解得特征根为 所以，齐次方程的通解为： （2）求特解 一、复值函数与复值解 1、复值函数 复值函数的求导法则与实函数求导法则相同 一、复值函数与复值解 1、复值函数及其性质 3）复值函数的求和、数乘、求导法则与实函数相同 2 、复指数函数 欧拉公式: 性质: 定义： 3、复值解 1) 定义： 2) 定理8 和 的解. 3) 定理9： 若方程 二、常系数齐线性方程和欧拉方程 1、常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法) 考虑方程 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 有通解 说明： 一阶常系数齐线性方程 有通解 受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解： 把它代入方程(4.19)得 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根. 1) 特征根是单根的情形 易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上： 下面分开讨论特征根的不同情况： 故解组(4.22)线性无关. （则因方程的系数是实常数,所以复根将成对共轭出现） 则相应方程(4.19)有两个复值解： 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解. 因此,对方程的一对共轭复根: 可求得(4.19)的两个实 值解为： 例1： 解： 特征方程为 特征根为 基本解组为 故原方程的通解为： 例2： 解： 特征方程为 特征根为 基本解组为 故原方程的通解为： 2) 特征根是重根的情形 从而，对应方程(4.19)变化为： 于是，方程(4.19)化为 其中，方程(4.23)相应特征方程为 直接计算易得: 因此, 即就把问题转化为前面讨论过的情形(a). 下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见P140） 对特征方程有复根的情况: 如同单根时那样,我们也可以 3) 求方程(4.19)通解的步骤： 第一步: 第二步: 计算方程(4.19)相应的解 第三步: 例3： 解： 特征方程为 有特征根： 基本解组为： 故通解为： 例4： 解 特征方程为 特征根： 故方程的通解为： 方程的基本解组为： 例5： 解 特征方程为 特征根： 故方程的通解为： 基本解组： 作业 P164: 2、（1）（3） 2、欧拉(Euler)方程 形如 的方程,称为欧拉方程. 欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），瑞士数学家。18世纪 最优秀的数学家数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。他从19岁到76岁的半个多世纪共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。几乎每个数学领域都可看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、地质学、化学等等。 *欧拉简介： 1) 引进变换： 由归纳法原理可知： 将上述关系式代入(4.19) 因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解. 得常系数齐线性方程.即 2) 从上述推演过程,我们知(4.30) 因此可直接求欧拉方程的 则(4.31)正好是(4.30)的特征方程, 注：