测度论讲义习题答案严加安.pdf

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2019-03-24 发布于四川
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§1 1.10 (1) (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC), (2) (AΔB) ∩ C = (A ∩ C)Δ(B ∩ C), (3) (A ∪ A )Δ(B ∪ B ) ⊂ (A ΔB ) ∪ (A ΔB ). 1 2 1 2 1 1 2 2 Proof (1) (AΔB)ΔC = ([A ∩ Bc c c c c c ∪ A ∩ B] ∩ C ) ∪ ([A ∩ B ∪ A ∩ B] ∩ C) =(A ∩ Bc c c c c c ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ [(A ∩ B ∪ A ∩ B) ∩ C] =A ∩ (Bc ∩ Cc ∪ B ∩ C) ∪ Ac ∩ (B ∩ Cc ∪ Bc ∩ C) =A ∩ [(B ∪ C) ∩ (Bc c c c ∪ C )] ∪ A ∩ (BΔC) c c c c =A ∩ [B ∩ C ∪ C ∩ B ] ∪ A ∩ (BΔC) =A ∩ (BΔC)c ∪ Ac ∩ (BΔC) =AΔ(BΔC). (2) (A ∩ C)Δ(B ∩ C) =(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)c ∪ (A ∩ C)c ∩ (B ∩ C) c c c c =A ∩ C ∩ (B ∪ C ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (B ∩ C) =A ∩ Bc ∩ C ∪ Ac ∩ B ∩ C =(A ∩ Bc ∪ Ac ∩ B) ∩ C =(AΔB)ΔC. (3) (A ∪ A )Δ(B ∪ B )=(A ∪ A ) ∩ (B ∪ B )c ∪ (A ∪ A )c ∩ (B ∪ B ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 =A1 ∩ Bc ∩ Bc ∪ A2 ∩ Bc ∩ Bc ∪ Ac ∩ Ac ∩ B1 1 2 1 2 1 2 ∪ Ac ∩ Ac ∩ B2 1 2 ⊂A1 ∩ Bc ∪ A2 ∩ Bc ∪ Ac ∩ B1 ∪ Ac ∩ B2