线性代数总复习(有_有讲解)资料.pptVIP

人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 方阵的特征向量 一、内 容 提 要 设 l 为方阵 A 的特征值, 称方程组 (lE - A) x = 0 的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量. 对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A) 个线性 无关的特征向量, 定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, A1,…, Am 分别为属于 l1,…,lm 的线性无关特征向量组, 则由 A1,…, Am 的并集构成的向量组线性无关. 称属于 l 的线性无关特征向量组. 定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, p1, …, pm 为对应的特征向量, 则 p1,…, pm 线性无关. 相似矩阵 一、内 容 提 要 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使 那么, 称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性. 定理 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 推论 若对角阵 L 是 A 的相似矩阵, 则 L 以 A 的特征值 为对角元素. 定理 一、内 容 提 要 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 定理 设 l 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值, 则 定理 方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的每一特征值的几何重数等于代数重数. 称 k 为特征值 l 的代数重数. 称 n - R(lE - A) 为特征值 l 的几何重数. (1) 求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 li . 一、内 容 提 要 (2) 求 (li E-A) x = 0 的一个基础解系. (3) 将求出的 n 个特征向量排成矩阵 则 可对角化矩阵的多项式计算 当 P -1AP = L = diag(l1,…, ln) 时, 方阵相似对角化的算法 二、典 型 例 题 例1 设 a1, a2, a3, b 均为3维列向量, 矩阵A = (a1, a2, a3), 解 B = (3a1, 2a2, b), 且已知行列式 det A = 2, det B = ? 6. 计算 det (3A-B) 和 det (3A+B). 解 例2 设 计算 知识点 例3 计算矩阵 A2n 的行列式, 其中 解 例4 设 且 A2 + AB - A = E, 求 A9 和 B. 解 证明 例5 设 A 满足方程 A2 +2A-E = O, 证明 A 与 A+3E 都可逆, 并求它们的逆阵. 由 A2 +2A-E = O, 得 因此 A 可逆, 且有 因此 A+3E 可逆, 且有 且 AB = B+A, 求 B. 已知 解 例6 由 AB = B+A, 得 例7 设 求 An. 解 则有 令 知识点 问 a 取什么值时, (1) b 可由 a1, a2, a3 线性表示, 且表示式唯一; (2) b 可由 a1, a2, a3 线性表示, 但表示式不唯一; (3) b 不可由a1,a2,a3线性表示. 解 对 (A, b)?(a1,a2,a3,b) 施行 初等行变换 (1)当a ? ?2 时, R(A,b)=R(A)=3, b可由a1,a2,a3线性表示, 且表示 式唯一(因a1,a2,a3线性无关); (2)当 a = 2 时, R(A,b)=R(A)=2, b可由a1,a2,a3线性表示, 但表示 式不唯一(因a1,a2,a3线性相关); (3)当 a = -2 时, R(A,b) ? R(A), b 不可由 a1, a2, a3 线性表示. 例8 设 例9 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中a3,a4线性无关, a3=2a1+a2, a4=3a1+2a2. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程组 Ax=b 的通解. 解 知识点 由a3 =2a1+a2, a4 =3a1+2a2 知x1 =(2,1,-1,0)T, x2=(3,2,0,-1)T 为方程组 Ax = 0 的两个解, 又因a3,a4线