初等数论在中学数学竞赛中的应用.doc

目 录 摘 要 II ABSTRACT III 1 绪论 1 2 整除理论及其应用 1 2.1 整除 1 2.2 带余除法定理 3 2.3 最大公约数与最小公倍数 4 2.4 高斯函数 5 3 同余理论及其应用 7 3.1 同余的定义及基本性质 7 3.2 孙子定理 9 4 不定方程及其应用 10 4.1一次不定方程 11 4.1.1 二元一次不定方程 11 4.1.2 一次不定方程组 12 4.2 高次不定方程 13 5 结束语 15 参考文献 16 致 谢 17 摘 要 初等数论是主要研究整数性质的数学分支，包括整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程等。?初等数论知识常被应用于各类的中学数学竞赛，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛”等,题目所占比例非常大。本文主要从初等数论的整除、同余以及不定方程这三大理论中，结合对历年的中学数学竞赛题目的分析、解题过程与反思总结归纳初等数论知识在中学数学竞赛中的应用，能够帮助大家对初等数论有更深入地了解，并且在数学竞赛中更游刃有余地解决问题。 关键词：初等数论；数学竞赛；整除；同余；不定方程 ABSTRACT Elementary Number Theory is the math subfield that mainly researches the nature of integer, including integer divisible theory, congruence theory and some special indefinite equation and so on. The knowledge of elementary number theory is often applied to all kinds of math contests of middle school, such as domestic Hua Luogeng Golden Cup Contest, Cup of Hope National Mathematics Invitational Contest ,the National Middle and Senior School Maths Tournament, Olympics Maths Contest and International Olympics Maths Contest and so on, and the questions account for a large proportion. This article mainly through the three theories of integer divisible, congruence and indefinite equation, and combines analyses, the process of figuring out questions and reflection and summary of the questions of middle school contests over the years to conclude the application of elementary number theory in the middle school contests. This can help us deeply understand the elementary theory and solve problems with skill and ease in the math contests. Key words:Elementary number theory;Math contest;Divisuble;Congruence; Indefinite equation  1 绪论 初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程。在中学数学的学习中，初等数论知识常被广泛应用于数学竞赛中，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛(简称IMO（即International Mathematical Olympiad）)”等。竞赛中初等数论的题目所占题目比例据不完全统计可达30%。由此可见，初等数论在中学数学竞赛中的地位是非常重要的。? 本文较为全面