高校工程数学数值计算方法的基本概念20170245教学课件.pptVIP

§1.1 数值计算方法的基本概念 一、数值计算方法的研究对象 二、数值计算方法的概念 三、数值计算方法的特点 四、数值计算方法中常用的一些概念 五、研究数值算法的主要任务 一、数值计算方法的研究对象 随着计算机技术的发展和科学研究、生产实践的需要，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可缺少，因而要求研究适合计算机使用的数值计算方法。 为了更具体地说明数值计算方法的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题的一般过程。 解决科学计算问题的过程 数值 分析 ? ? ? ? 计算机 近似解 实际问题 数学模型 科学计算问题的过程 实际问题 数学模型 应用数学的任务 数值计算方法 程序设计 上机求出结果 计算数学的任务 二、数值计算方法的概念 数值计算方法，又称数值分析或计算方法（工程计算、科学计算等）, 它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。 根据计算机的特点，必须把对数学问题的解法归结为＋－×÷及逻辑运算，并对运算顺序有完整、准确的描述的算法。 数值计算方法的定义 研究在计算机求解（解决）各种数学问题的数值方法和理论，因而包括了： 解决的数学问题 计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是： 非线性方程的数值求解 线性方程组的数值求解 插值和曲线拟合 数值积分和微分 常微分方程的数值求解。 三、数值计算方法的特点 1〉面向计算机 根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的； 2〉保证算法的收敛性和稳定性 数值算法的数值解能任意逼近精确解到要求的程度；还要保证算法的数值稳定性。 数值计算的特点 3〉要有好的计算复杂性 算法的计算复杂性是指该算法的空间复杂度和时间复杂度。 空间复杂度：指算法需占用的存储空间. 时间复杂度：指算法包含的运算次数。 例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 四、数值计算方法中常用的一些概念 数值问题：由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。 数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般为近似值。 数值算法：由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。 （1）数值问题 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程 是数值问题 （1）数值问题 求解微分方程 不是数值问题 将其变成数值问题，即将其“离散化” “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一 （2）数值算法 数值方法: 是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式 现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt() 常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算 数值算法 应化为 如求根公式 应化为公式 五、研究数值算法的主要任务 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性