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四川省宜宾市第三中学2014高一教学论文 抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用 抽屉原理在高中数学竞赛中的 一些构造及其应用 抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用 内容摘要：抽屉原理是国际国内高中数学竞赛中的重要内容，本文目的是探讨抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用。首先介绍了抽屉原理及其一些相关推论，从而对原理实质有了一定了解，再在此基础上研究了抽屉原理常用的八种构造方法：利用几何图形做抽屉、利用区间构造抽屉、利用整数分组做抽屉、用状态制作抽屉、利用染色体造抽屉、以集合作抽屉、以元素对作抽屉、按同余类造抽屉，并结合高中数学竞赛中的具体例子进行了详细分析。本文展现了抽屉原理在高中数学竞赛中的作用，对高中数学的教学等具有重要意义。 关键词：抽屉原理 构造方法 应用 数学竞赛 目录 1 引言 2 2 抽屉原理简介 2 2.1 抽屉原理 2 2.2 抽屉原理的性质 2 2.3 抽屉原理的几种形式 2 3 抽屉原理相关推论 2 3.1 平均值原理 2 3.2 面积重叠原理 2 4 构造抽屉的方法 2 4.1 利用区间构造抽屉 2 4.2 利用几何图形作抽屉 2 4.3 利用整数分组作抽屉 2 4.4 用状态制作抽屉 2 4.5 利用染色体构造抽屉 2 4.6 以集合作抽屉 2 4.7 以元素对作抽屉 2 4.8 按同余类构造抽屉 2 5 抽屉原理的应用 2 5.1 解决问题的步骤 2 5.2 应用举例 2 6 结论 2 参考文献： 2 抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用 1 引言 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也有称“鸽笼原理”的。简地说就是：把3个苹果放入两个抽屉中，必有一个抽中至少有两个苹果；把3个苹果放入4个抽屉中，必有个抽屉中没有苹果。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。中学生在应用抽屉原理解决问题时，往往不能进行系统总结，从而对问题的实质看不穿。 “抽屉原理”是一个重要而又基本的组合原理，是非常规解题的的重要类型，例如文献[1-3]主要叙述了抽屉原理的一些基本形式及其性质。文献[4]的衡阳技师学院的赵晶老师着重研讨了运用抽屉原理时构造抽屉的技巧，并归纳抽屉原理的适用范围和运用时的注意事项。而文献[5]中广东三水广播电视大学的钟颖老师从所给出的通俗表述形式出发，细分下去，得出了鸽笼原理更全面、更广泛的通俗表述形式。文献[6-9]从实际例子出发，介绍了抽屉原理在实际生活中的应用。文献[10-12]则从抽屉原理的一些细节问题上出发进行了深入讨论。文献[14]是从高观点下中学数学的角度分析了抽屉原理。最后文献[13-15]介绍了抽屉原理在应用时的一些方法。 2 抽屉原理简介 2.1 抽屉原理 一般组合数学的教材关于鸽笼原理的简单形式为： 设是有限集，，，且，则必有正整数()，使得。 其通俗表述为：如果只鸽子飞进个笼子， 则必有一个笼子，该笼子里至少有2只鸽子。 关于鸽笼原理的一般形式为： 设是()元集，，且，则必有正整数()，使得。 其通俗表述为：如果()只鸽子飞进个笼子，则必有一个笼子，该笼子至少有只鸽子。 2.2 抽屉原理的性质 通俗表述形式并没有指出这个笼子的性质，要强调这个笼子的互不相干性。假定问题为：7个皮球放进6个抽屉里，则必有一个抽屉，该抽屉至少有2个皮球。这种表述形式合理的前提条件为这6个抽屉互不相干。试分析一下，如果这个6抽屉有一大套一小的情形出现，则此结论就有问题了。另外，在应用鸽笼原理的通俗形式解决实际问题时，要注意放入对象的完整性(即不可分割性)。若假设问题为7对鞋放进6个互不相干的抽屉里，则必有1个抽屉，该抽屉里至少有2对鞋的结论并不正确。原因是一对鞋并不是一个不可分割的整体，而是可分离的对象。所以可以出现有2个抽屉放入一对半鞋，其余个4抽屉放入一对鞋的情形。 除了要指出放进对象与被放进对象性质之外，还存在至多与至少问题。由前知：7只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个笼子里至少有3只白鸽，这个结论是很显然的。如假定问题：7为只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有几只白鸽？至少有一个最小笼里至多有几只？分析其结果为：7只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有①只，至少有一只最小笼里至多有②只。 推广到只白鸽到个笼子的情形：只白鸽飞进个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有只白鸽，至少有一个最小笼里至多有只白鸽。 当然，鸽笼原理本身就有一定的局限性，它对于一些更加复杂的有关存在性的组合问题，显得无能为力。但有了这些关于鸽笼原理相对的通俗表述形式之后，就更清楚了应用此原理的相对条件。 2.3 抽屉原理