信号处理中傅里叶变换简介.docVIP

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PAGE \* MERGEFORMAT19 傅里叶变换 一、傅里叶变换的表述 在数学上,对任意函数f(x),可按某一点进行展开,常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。 信号分析与处理中常见的有CFS(连续时间傅里叶级数)、CFT(连续时间傅里叶变换)、DTFT(离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数)、DFT(离散傅里叶变换)。通过对连续非周期信号xc(t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述,同时分析它们之间的关系。 1、CFS(连续时间傅里叶级数) 在数学中,周期函数f(x)可展开为 f Ω 由此类比, 已知连续周期信号x(t),周期为T0,则其傅里叶级数为 x Ω 其中, a a n=1,2,… b n=1,2,… 为了简写,有 x Ω 其中, C C n=1,2,… θ n=1,2,… 为了与复数形式联系,先由欧拉公式ejz=cosz+jsinz得 cos 故有 x = =…+ 令 D D D 则 x 对于Dn,有 D = = = (n0) n≤0时同理。 故 D CFS图示如下: Figure SEQ Figure \* ARABIC 1 理论上,CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差,只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中,只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。 2、CFT(连续时间傅里叶变换) 连续非周期信号x(t),可以将其看成一连续周期信号xT0(t)的周期T0→∞。当然,从时域上xT0(t)也可以反过来看成x(t)的周期延拓 x = = 若令 X 则 D 有 x(t) T0→∞使得Ω0→0,则 x = = 由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下 CFT: X( CFT-1: x(t) x(t)是信号的时域表现形式,X(jΩ)是信号的频域表现形式,二者本质上是统一的,相互间可以转换。CFT即将x(t)分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。上式中,时域自变量t的单位为秒(s),频域自变量Ω的单位为弧度/秒(rad/s)。 CFS中的Dn与CFT中的X(jΩ)之间有如下关系 D 即从频域上分析,Dn是对X(jΩ)的采样(可将Figure 1与Figure 2进行对比)。 CFT图示如下: Figure SEQ Figure \* ARABIC 2 3、DTFT(离散时间傅里叶变换) 首先,先从连续信号得到离散信号。 用冲激信号序列 s 对连续非周期信号xc(t)进行采样,采样间隔为Ts,有 x = = 此时的xs(t)还不是真正的离散信号,它只是在满足t = nTs的时间点上有值,在其它时间点上值为零。对xs(t)进行进一步处理有 x = 规定 x 则 x 其中,x[n]是最终所得的离散信号。xs(t)自变量为t,其单位为秒s,间隔为TS;x[n]自变量为n,其单位为1,间隔为1。 从频域分析上有 X = = = = 其中xn=xc X 以上式为DTFT定义式。DTFT逆变换为 x DTFT是在时域上对CFT的采样(图示可见Figure 3与Figure 4),在DTFT中,时域信号x[n]为离散的,而对应的频域表示X(ejω)为连续的,且有周期ωs = 2π。 X(ejω)与Xs(jΩ)之间的关系为 X ω = ΩTs Xs(jΩ)中,自变量Ω单位为弧度/秒(rad/s),周期为Ωs = 2π/Ts;X(ejω)中,自变量ω单位为弧度(rad),周期为ωs = 2π。 CFT时域采样图示如下: Figure SEQ Figure \* ARABIC 3 DTFT图示如下: Figure SEQ Figure \* ARABIC 4 4、DFS(离散时间傅里叶级数) 在离散时间信号x[n]基础上,用冲激序列 S 对DTFT中的X(ejω)进行采样,采样间隔为Δω = 2π/N,则有 X 而S(ω)的逆DTFT变换为 DTFT = = = = = 对Xs(ejω)进行逆DTFT变换,有 x = = = xs[n]相当于对x[n]进行了周期延拓,周期为N = 2π/Δω。由上式可得 X 若延拓周期N大于x[n]的时长,则延拓不会发生混叠,于是 x k为任意整数 令周期信号xn=x[n-kN],k x 有 x = = = 取ω = 2πk/N,令 X 则有 x ej2πN e m为任意整数 即ej2πNkn的周期为 x 同时, n=0 = = =

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