有限元编程大作业报告.docx

本科生实验报告书 四节点等参单元有限元 分析的FORTRAN程序 目录 问题概述 … … … … … … … … … … … … … … … … … …(1) 四节点四边形等参单元介绍 … … … … … … … … … … …(1) 单元应力磨平方法介绍 … … … … … … … … … … … … …(4) 程序流程设计 … … … … … … … … … … … … … … … … (6) 4.1 程序设计概述 4.2 流程图 程序结构及程序说明… … … … … … … … … … … … … …(8) 程序应用及算例分析 … … … … … … … … … … … … … …(9) 6.1 算例概述 6.2 算例ANSYS求解 6.3 算例程序数值解 6.4 算例分析 7. 总结 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (15) 7. 附录… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …() PAGE \* MERGEFORMAT - 1 - 问题概述 等参单元是有限元方法中使用最广泛的单元类型。等参单元的位移模式和坐标变换均采用相同的形函数，这种坐标变换叫做等参变换。通过等参变换可以将自然（局部）坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中形状扭曲的单元，因而使得单元有较好的适应性。 本问题首先对平面四节点四边形等参单元的形函数、应力矩阵和等效节点力矩阵、应力磨平公式等的推导和计算求解。并通过设计FORTRAN求解程序进行编程求解，最后给出算例（受集中荷载的悬臂梁）并进行求解，将解与ANSYS的解进行比较。在这个过程中，采用了高斯三点积分和高斯两点积分，这种积分方法的求解效率较高而且精度也较好。在问题的最后，尝试去分析引起数值解误差的原因，并分析四节点等参单元的若干特性。 四节点四边形等参单元介绍 边长为2的正方形单元（如下图所示），在其形心处安置一个局部坐标οξη。单元角结点i的坐标（ξi,ηi）分别为±1,因此单元四条边界的方程可用简单公式ξ±1=0和 ξ ξ η 1 2 3 4 0 图2-1 母单元 图2-2 四边形单元 形函数Ni N 位移函数： 坐标变换式： ， 单元应变矩阵 式中——单元节点的位移列阵； 这里记号，。根据复合函数求导规则，有 从而有 因此，单元内的应力可以表示为 应力矩阵可以写成分块形式 对于平面应力情形， 单元刚度矩阵是 其中积分采用三点高斯积分， （高斯积分点的总数），和是加权系数，和是单元内的坐标.。对于三点高斯积分，高斯积分点的位置： ,，，。 结构刚度矩阵 结构结点荷载列阵 注意，对于上两式中的理解不是简单的叠加而是按照对应的自由度集成。 总刚平衡方程 从式上式求出： 将回代入和中，得到和。 等效节点力 集中力 将集中荷载作用点取为结点，集中荷载就可以直接转化为等效结点力。 体积力 等效结点力按下式计算 Fvie 其中积分采用高斯2点积分， （高斯积分点的总数），和或是加权系数，和是单元内的坐标。对于2点高斯积分，高斯积分点的位置： ξ1=η1=-1/3 ; 表面力 单元的ij边上两个结点的等效结点力按下式计算 F 应力磨平方法介绍 为了减少改进应力结果的工作量，可以采用单元应力的局部磨平。当单元足够小时，磨平可以在各个单元内进行。 　对于等参元来说，有了单元内应力局部磨平的方法，可以方便地利用精度较高的高斯积分点(最佳应力点)的应力值来改进等参元结点应力的近似性质。以二维单元为例，如果是二次等参元，插值函数中的完全多项式是二次，即p＝2。对于C0型单元m＝1。这时p - m+1=2,则在2×2个高斯积分点上有限元的应力计算值 有较高的精度。如果进行应力磨平时只要求得到4各角点的改进应力值，即使在计算位移时是8结点二次等参元，但进行应力磨平时，单元结点数可只取4个，即用二维双线性单元进行应力磨平。磨平式各应力分量分别进行，这时应力磨平插值函数Ni应采用双线性函数，即? ?　 　　 （3.1） 　在此情况下，4个结点上的应力可由高斯点上的应力外推得到，即令在2×2高斯积分点上有。4个高斯积分点的座标(见图3-1)如下: