1-4工程数学方阵的行列式.pptVIP

一、逆矩阵的定义 称为方阵A的伴随矩阵,习惯上常用 或adjA表示. 注意: 四、小结 思考题 思考题解答 * 五、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变)称为方阵 的行列式， 注意:由于行列式是n行n列的,如果矩阵A不是方阵, 就不能对A取行列式.矩阵和行列式是两个完全不同 的概念.n阶矩阵是 个数按一定方式排成的数表, 而n阶行列式则是这 个数按一定的运算法则所 确定的一个数. (设Ａ、Ｂ为n阶方阵,λ为数): 方阵A的行列式满足下列运算规律 (此式称为行列式乘法公式) 要清楚两者的含义及记号的区别. 六、小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 第四节 逆矩阵 一、逆矩阵的定义 三、用伴随矩阵求逆矩阵 二、方阵A可逆的充分必要条件 四、小结 思考题 在矩阵乘法中， 单位阵 具有与数1在数的 乘法中类似的性质， 那么，对于任意n阶方阵A都有 而对于任意数 ， 若 时， 使 类似地,引入逆矩阵的概念 定义1 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使 则称A是可逆的,并称B是A的逆矩阵. 这是因为: 如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是惟一的. 所以A的逆矩阵是惟一的. 今后将A的逆矩阵记作 . 即若AB=BA=E,则 二、方阵A可逆的充分必要条件 设 n 阶方阵 B、C都是A的逆矩阵,则有 我们把 中诸元素 的代数余子式 所组成的 n阶方阵 引理 设A为n阶方阵,则 证明 根据第一章定理及其推论,得 中第i行第j列处的元素是 而不是 同理 故有 定理2-1 设A为n阶方阵,则A可逆的充分必要 条件是 当A可逆时, (5) 证明 若 可逆， 则由 从而A可逆,且 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 设A为n阶方阵,当 时,称A为奇异矩阵. 否则,称A为非奇异矩阵. 可逆矩阵满足下列运算规律(设A、B均为n阶 可逆矩阵,数 ): 证(5) 因为A可逆,所以 ,又 所以 三、用伴随矩阵求逆矩阵 式(5)给出了求逆矩阵的方法,即先求 , 再套公式 例4-1 求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 证 由 例4-2 设 试证 知 所以 证毕 利用例4-1,可以方便地求出二阶可逆方阵的逆矩 阵,例如 注:二阶方阵的伴随矩阵的求法:把原矩阵“主对 调,负变号”即可. 例4-3 设 解 于是 注意: ①由于矩阵乘法不满足交换律,用矩阵 乘方程AXB=C两边时,必须同时在左边乘. ②对于高阶矩阵 ,用伴随矩阵法求 是比较麻烦的.本章第五节中,将介绍用初等变换求 的方法. 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的计算方法 逆矩阵 存在 伴随矩阵的概念. *