四面体外接球的球心、半径求法.docVIP

四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即 【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为的长 即： 所以 球的表面积为 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。 解：且，，，, 因为 所以知 所以 所以可得图形为： 在中斜边为 在中斜边为 取斜边的中点， 在中 在中 所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥中，，，，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所以半径为 【结论】：空间两点间距离公式： 四面体是正四面体 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，。例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？解：如图所示，设点是内切球的球心正四面体棱长为．由图形的对称性知点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．正四面体的表面积．正四面体的体积 ， 在中，，即，得， 【点评】，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解?平面， 由此，面面.记是的中点， 从而.平面 设球是与平面、平面都相切的球.及内切圆 不妨设平面，于是是的内心. 设球的半径为，则设,. ,当且仅当，即时，等号成立. ∴当时，满足条件的球最大半径为. ，求正四面体的棱长。（答案为：） 【点评】二、球与棱柱的组合体问题 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。 如图3，截面图为正方形的内切圆，得； 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。 例3.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是. 解由已知可得、、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线 练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得 ， ， 练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：） 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，出合适的截面图确定有关元素间的数量关系 图1 图2 图3 图4 图5 图6