高校工程数学第2节复数的几何表示教学课件.ppt

关于∞的四则运算 （1）加法：α+∞=∞+α=∞ （α≠∞） （2）减法：α–∞=∞–α=∞ （α≠∞） （3）乘法：α·∞=∞·α=∞ （α≠∞） （4）除法：α/∞=0，∞/α=∞ （α≠∞） α/0=∞ （α≠0） 关于∞的四则运算 其他运算：∞±∞，0·∞，∞/∞，不规定其意义；0/0和实函数一样不确定。 注意：以后如无特殊声明，所谓“平面”一般仍指有限平面，所谓“点”仍指有限平面上的点。 小结 本节主要内容：复数的模、辐角；复数的各种表示法。复平面、复球面和扩充复平面。 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点。无穷远点与无穷大这个复数相对应， 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈。 思考题 1、是否任意复数都有辐角? §1.2 复数的几何表示 1、复平面 2、复球面 3、小结与思考 一、复平面 1、复平面的定义 复数z=x+iy与一对有序实数(x，y)成一一对应。所以一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫实轴或x轴，纵轴叫虚轴或y轴，这种用来表示复数的平面叫复平面。 复平面也称为z平面。 2、复数的直角坐标表示 复数z=x+iy可以用复平面上的点(x，y)表示。 复数与复平面上的点成一一对应，并且常把“点z”作为“复数z”的同义词。 3、复数的向量表示法 复数z还能用从原点指向点(x, y)的向量来表示(如图)。 该向量的长度称为z的模或绝对值，记作： ≥ 0 显然，下列各式成立： |x|≤|z|，|y|≤|z| |z|≤|x|+|y| 复数的辐角 在z≠0的情况，表示z的向量与x轴的交角θ称为z的辐角，记作： Arg z=θ 这时，有 tg(Arg z)=y/x 说明：任何一个复数z≠0有无穷多个辐角。 如果θ1是其中的一个辐角，那么z的全部辐角为： Arg z=θ1+2kπ （k为任意整数） (1.2.3) 就给出了z的全部辐角。 复数的辐角 在z（≠0）的辐角中，我们把满足： –πθ0≤π 的θ0称为Arg z的主值， 记作：θ0=arg z。 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。 复数的辐角 特殊地：当z=0时，|z|=0，而辐角不确定。 计算 argz(z≠0) 的公式 4、复数的矢量加减运算 根据复数的运算法则可知，两个复数z1和z2的加、减法运算和相应向量的加减法运算一致(如图)。 复数和差的模的性质 上述运算规则称为平行四边形法则。 因为|z2–z1|就是z1与z2之间的距离，因此 |z1+z2|≤|z1|+|z2| |z1–z2|≥||z1|–|z2|| 5、共轭复数 一对共轭复数z和 在平面内的位置是关于实轴对称的(如图)，因而 ，如果z不在负实轴和原点上，还有： 6、复数的三角表示法和指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： x=r·cosθ，y=r·sinθ 还可以把复数z表示为下面的形式： z=r(cosθ+isinθ) 称为复数的三角表示法。 复数的指数表示法 利用Euler公式（eiz=cosz+isinz，z为任意复数）：eiθ=cosθ+isinθ，我们又可以得到： z=reiθ 称为复数的指数表示法。 结论：复数的各种表示法可以相互转换，以适应讨论不同问题时的需要。 欧拉和欧拉公式 复平面上图形/曲线的表示 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形。 【例1】 例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2-z1). (-?t+?) 【例1】 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1). (0?t?1) 取 得知直线段的中点为 计算举例 [例1-2-1] 将下列复数化为三角表示式与指数表示式： [解] 由于z在第三象限，所以：θ0= –5π/6 z的三角表示式是： z=4[cos(–5π/6)+isin(–5π/6)]=4[cos(5π/6)–isin(5π/6)] z的指数表示式是：z=4e -5πi/6