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Ch1 复数与复变函数 乘幂 3. 区域 例4. Ch2 解析函数 2. 函数解析的充要条件 3. 初等函数 二、典型例题 例1. 例2. 例4、 性质 Fourier变换 * 目录 上页 下页 返回 结束 * 2. 复数的运算 加减法 乘法 1. 复数的表示 一、知识要点 方根 除法 共轭 4. 曲线 简单曲线，连续曲线，光滑曲线 5. 复变函数 函数极限， 函数连续 1）有理整函数 (多项式) 2）有理分式函数 函数 将 z 平面上的下列曲线变成 w 平面 解: 又 于是 表示 w 平面上的圆. (1) 上的什么曲线？ 解: 表示 w 平面上以 为圆心， 为半径的圆. 1. 复变函数的导数与微分 i) 导数 ii) 微分 iii) 解析 函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导. 函数 f (z) 在z0不解析, 则称z0为 f (z) 的奇点. iv) 奇点 一、知识要点 1) u(x,y)、v(x,y) 在点 (x,y) 可微, ii) 可导的充分必要条件是: 2) u(x,y)、v(x,y) 满足 柯西-黎曼(C-R)方程： 函数 在点 i) 1) 指数函数 2) 对数函数 3) 幂函数 4) 三角函数 解: 故 设 为解析函数，求 的值. 例1. 设 由于 解析，所以 即 故 例2. 解方程 解: 例1. 解: 计算积分 例1. 解: 计算 其中 C 为 (1)正向圆周： (3)正向圆周： (2)正向圆周： (1) (2) (3) 例3. 求出 的值. 解: 例1. 解: 计算 的正向闭曲线. 其中 C 为绕 在 内有奇点： 例2. 解: 计算 作圆周 解: 已知 是右半复平面的调和函数， 求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v. 由C-R方程，得 解: 已知 验证u是调和函数， 并求以 u 为实部的解析函数 f (z), 使 f (0) = i. 因为 所以u是调和函数. 又 f (0) = i ， 所以 例、判别下列级数是绝对收敛,条件收敛,发散 绝对收敛； 条件收敛； 发散 发散 函数sec z 在 内解析，求它在这个园盘内的泰勒展式。 解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式，设 但是，我们有 因此， 故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数，可以得到 解: 例、求函数 在圆环1|z|3 内的洛朗级数展式。 解：由于1|z|3，那么 利用当 时的幂级数展式 我们得 一般地， (3) 其中, 称为单位阶跃函数. 即 所以有