三角函数公式及推导公式.docxVIP

三角函数公式 定义式： 　 锐角三角函数 任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 HYPERLINK /view/295487.htm \t _blank 正弦（sin） HYPERLINK /subview/303443htm \t _blank 余弦（cos） HYPERLINK /view/536279.htm \t _blank 正切（tan或tg） HYPERLINK /view/536283.htm \t _blank 余切（cot或ctg） HYPERLINK /view/536271.htm \t _blank 正割（sec） HYPERLINK /view/536276.htm \t _blank 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： 诱导公式 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设 为任意角， 与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与的三角函数值之间的关系： 公式四： 与的三角函数值之间的关系： 公式五： 与的三角函数值之间的关系： 公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 基本公式 和差角公式 二角和差公式 证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同． 证明正切的和差角公式 证明正弦、余弦的和差角公式 三角和公式 和差化积 口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦． 积化和差 倍角公式 二倍角公式 三倍角公式 证明： sin3a =sin(a+2a) =sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得： tan3a=tana·tan(60°