小学奥数公因数和公倍数.docVIP

第三讲：公因数和公倍数 公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。 例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12 18的约数有：1,2,3,6,9,18 12和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：，，所以； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以． 公倍数的概念与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84... 18的倍数有：18,36,54,72,90... 12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：，，所以； ②短除法求最小公倍数； 例如： ，所以； ③． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：，而6,7,8的最小公倍数为 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 两根电线分别长24m和16m，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小段最长可以是多少米？ 【】 【】 【】 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 【】【】的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？ 【】 用一张长 【】 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 【】 求21672和11352的最小公倍数。 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数． 【】 【】 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？ 【】 两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数． 甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？ 【】 【】同一起点沿同一方向在圆形上跑步，甲一圈用乙跑一圈用，跑一圈用问再过多长时间三人第二次从同时从出发？ 一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？ 【】 学校六年级有若干同学排队做操如果3人一行余 【】5个小朋友或 【】 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？ 【】 【】 从学校到少年宫的这段公路上一共有 【】 在一根长木棍上用红黄蓝三种颜色做标记分别将木棍平均分成了 【】 知识点拨 例题精讲