3-4工程数学随机变量的数字特征.ppt

1．正态分布 标准正态分布 正态分布密度函数的图形性质 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布的重要性 1. 标准正态分布的计算 标准正态分布的计算（续） 2.一般正态分布的计算 一般正态分布的计算（续） 例 3 例 5 例 5（续） * 第四节 随机变量的数字特征 一、 数学期望 返回主目录 1、数学期望定义 (1) 离散型 第四节 随机变量的数字特征 §1 数学期望 返回主目录 (2) 连续型 第四节 随机变量的数字特征 §1 数学期望 返回主目录 例 1 第四节 随机变量的数字特征 §1 数学期望 此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。 返回主目录 2、随机变量函数的数学期望 定理 1、2： 第四节 随机变量的数字特征 返回主目录 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数， （1）若 X 的分布率为 且 绝对收敛, 则 EY= 例 2 第四节 随机变量的数字特征 返回主目录 3、数学期望的性质 第四节 随机变量的数字特征 若x , y独立，则 EXY=EXEY 返回主目录 二、 方差与标准差 1、定义 §2 方差 第四节 随机变量的数字特征 返回主目录 §2 方差 第四节 随机变量的数字特征 方差也可由下面公式求得： 注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。 返回主目录 ( ) 2 2 EX EX DX - = 证明： ( ) 2 EX X E DX - = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 EX X EX X E + × - = ( ) ( ) 2 2 2 EX EX EX EX + × - = ( ) ( ) 2 2 2 2 EX EX EX + - = ( ) 2 2 EX EX - = 2、方差的性质 §2 方差 第四节 随机变量的数字特征 证： ) ( ) ( 2 2 2 EY Y EX X abE DY b DX a - - + + = §2 方差 第四节 随机变量的数字特征 DY b DX a 2 2 + = 若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故： 注： 令， 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。 返回主目录 3、几种重要随机变量的数学期望及方差 方法1： 第四节 随机变量的数字特征 2）二项分布 1）两点分布 返回主目录 §3 几种期望与方差 第四节 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 第四节 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差 第四节 随机变量的数字特征 4.均匀分布 返回主目录 第五节 正态分布 x f (x) 0 的密度函数为 如果连续型随机变量 X ( ) ( ) ( ) +￥ ￥ - = - - x e x f x 2 2 2 2 1 s m s p ( ) ， 为参数 ， 其中 0 +￥ ￥ - s m ( ) 正态分布．记作 的 ， 服从，参数为 则称随机变量 2 s m X ( ) 2 ~ s m ， N X 返回主目录 x f (x) 0 返回主目录 返回主目录 x f (x) 0 返回主目录 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明： ⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的． ⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布． 返回主目录 返回主目录 二、正态分布的概率计算 x 0 x -x ( ) { } x X P x x ￡ = F 3 我们可直接查表求出 对于 0 ，我们可由公式 如果 0 x ( ) ( ) ò ò - ￥ - - - ￥ - = = - F x t x dt e dt t x 2 2 2 1 p j ，得 ， 作变换 du dt u t - = - = ( ) ò ￥ + - - = - F x u du e x 2 2 2 1 p ò +￥ - = x u du e 2 2 2 1 p ò ￥ - - - = x u du e 2 2 2 1 1 p ( ) x F - = 1 返回主目录 返回主目录 例4 返回主目录 例4 （续） 返回主目录 例