高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件.ppt

[例2-3-2] 故得：g(x)= –x2/2+c 因此，v(x,y)=2xy+y2/2–x2/2+c 而 它可以化为 f(z)=(1–i/2)z2+ic 由f(0)=0，得c=0，所以所求的解析函数为 f(z)=(1–i/2)z2 三、小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是：1、任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数。 2、满足柯西—黎曼方程ux=vy, vx= –uy,的v称为u的共轭调和函数，u与v注意的是地位不能颠倒。 拉普拉斯资料 Pierre-Simon Laplace Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France 2.3 解析函数和调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考 一、调和函数的定义 定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用. 拉普拉斯 调和函数 例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数 二、解析函数和调和函数的关系 解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的应用。 1. 两者的关系 [定理] 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 证 解析函数和调和函数的关系 根据解析函数高阶导数定理, [证毕] 解析函数和调和函数的关系 Question： 解析函数的充要条件是C-R方程，描述u，v之间的关系。 而调和函数只是u，v各自的性质，并未描述相互间的关系。 Answer:NO, N0, N0! 解析函数和调和函数的关系 反例： 为调和函数，但 不解析 解析函数和调和函数的关系 [定理2-3-1] 如果f(z)=u+iv为一解析函数，且f (z)≠0，那么曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必相互正交。 [证明] 因为曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2中任一条曲线的斜率分别为–ux/uy（即(–?u/?x)/(?u/?y)）和–vx/vy(即(–?v/?x)/(?v/?y))，又因为函数f(z)是解析函数，故有ux=vy，uy=vx（即?u/?x=?v/?y，?u/?y=–?v/?x），得： (–ux/uy)(–vx/vy)=(–vy/uy)(–uy/vy)=1 即： [定理2-3-1] 因此，曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2相互正交。 [证毕] 以上无形中假定uy，vy在交点处都不为零，如果有一个为零，则由f (z)≠0 ，可知另一个必不为零。这时容易知道两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，他们它们仍相互垂直。 解析函数和调和函数的关系 [定理2-3-2] 任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程： [证] 设w=f(z)=u+iv为一解析函数，则 ?u/?x=?v/?y ， ?u/?y= – ?v/?x 从而 [定理2-3-2] （第3章）一个解析函数的导数仍为解析函数。因此，解析函数的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意阶的连续偏导数。 所以 从而 同理 [证毕] 调和函数 把具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数叫调和函数。 对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的两个调和函数u(x,y)和v(x,y)叫做共轭调和函数。因此，[定理2-3-2]说明解析函数的实部和虚部为共轭调和函数。 如果已知共轭调和函数中的一个，那么就可以利用柯西-黎曼方程求得另一个，从而构成一个解析函数。 2、共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。 共轭调和函数 思考：如果v是u的共轭调和函数，那么u也是v的共轭调和函数吗？ 思考：如果u+iv是解析函数，那么v+iu也是解析函数吗？ 问题： （a1）验证函数u(x,y)是调和函数， （a2）求调和函数v(x,y)，使u+iv是解析函数。 （b1）验证函数v(x,y)是调和函数， （b2）求调和函数u(x,y)，使u+iv是解析函数。 这是相似的问题，其中（a2）问题的提法也可以：求u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)。 共轭调和函数 在D内调和 C—R方程成立 在D内解析 注： 在D内调和 u,v具