高校工程数学算法的有关问题教学课件.ppt

§1.2 算法的有关问题 一、算法的基本概念 算法是为了解决一个特定的问题而采取的（由计算机完成）确定的有限的步骤。 算法往往是对结题方案准确而完整啊是的描述，如数值型算法和非数值型算法（符号处理）。 做任何一项计算，事先总要拟订计算方案和规划、计算步骤等（有形或无形）。 一、算法的基本概念 为充分发挥计算机解题的高速性和效率，在机器解题的过程中，应当尽量地减少人工的干预。为此，须先将所制定的解题方案“告诉”机器，令机器按照人们所规定的计算顺序去自动地执行。 用机器能接受的“语言”(所谓形式语言)来描述解题步骤，这项工作叫做程序设计。 算法的基本概念 计算机只能机械地执行人的指示和命令（程序），不会主动地进行思维，不会发挥任何创造性。因此，交给机器执行的解题方案当中的每个细节都必须准确地加以定义，并且全部解题过程应当完整地描述出来。我们所说的“算法”，就是指解题方案的描述。 描述算法可以有不同的方式，比如，可用日常语言和数学语言加以叙述，亦可借助于形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可用框图直观地显示算法的全貌。 算法的简单例子 设要求解二元一次联立方程组 这个方程组的行列式解法可表述如下： 首先判别： d=a11a22–a21a12 是否为0，存在两种可能： 算法的简单例子（续1） （1）如果d≠0，则令机器计算 x1=(b1a22–b2a12)/d x2=(b2a11–b1a21)/d 然后输出计算结果x1，x2。 （2）如果d=0，则或为无解，或有无穷多组解，这是奇异情形。 图 1-1 算法流程 求解二元一次方程组的matlab程序 依据图1-1，求解二元一次方程组的解题程序（matlab程序）可以这样书写： a11=10, a12=11, a21=20, a22=21; b1=10, b2=21 %赋值 d=a11*a22-a12*a21 if d=0 x1=x2=inf else x1=(b1a22–b2a12)/d; x2=(b2a11–b1a21)/d end 求解二元一次方程组的matlab程序 更为简单的求解二元一次方程组的matlab程序： A=[a11, a12;a21,a22]; %赋值 B=[b1, b2]; X=A/B 2、算法的基本特征 算法的基本特征包括： （1）可行性 （2）确定性 （3）有穷性 （4）拥有足够的信息。 3、数值型算法的特点 二、算法的优劣 计算机的特点是运算速度高，存贮的倍息量大，并能自动地完成极其繁复的计算过程。 计算机的功能很强，可否对算法降低要求呢？许多事例说明，如果算法选择不当，计算机的利用效率就得不到充分的发挥。 算法的优劣 例如行列式解法的克莱姆（Cramer）法则，原则上可用来求解线性方程组。但用这种方法解一个n阶方程组，要算n+1个n阶行列式的值，总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。 按此，求解一个20阶左右不算太大的方程组，即使用每秒千万次的计算机，也要连续工作千万年才能完成。当然，这是完全没有实际意义的。因此，计算量的大小是衡量算法优劣的一项重要标准。 算法的计算量 统计算法的计算量时，要区分主次，抓住计算过程中费时较多的环节，譬如，由于加减操作的机器时间比乘除操作少得多，对和式 可以忽略加法而只统计乘法的次数。 又如算式 中需要多次计算函数值。每求一次f的函数值，称作“调用”f一次。调用f时，通常需要进行多次加减乘除运算，因此对算式 只要统计调用f的次数就行了。 算法的存储量 计算程序所占用的工作单元的数目称作算法的存贮量。尽管计算机能贮存大量信息，但计算大型项目时内存单元往往仍然相当紧张，因此，尽量节约存贮量，也是设计算法时需要考虑的一个因素。 压缩存贮的一个简单而有效的办法是，尽量利用原有的工作单元进行累算。为了显示出累算这种操作方式，常将算式表为所谓“动态”形式。如将y=x2表示为x×x→x，其含义是，将单元x的内容自乘，结果仍存放在单元x中。 算法的逻辑结构 设计算法要考虑的另一个因素是逻辑结构的复杂性问题。虽然计算机能够自动地执行极其繁复的计算方案，但计算方案的每个细节都是需要人来制定的。从计算人员的角度来讲，总是希望算法的逻辑结构能尽量简化，使得编制程序比较容易。 虽然计算机是一种强有力的计算工具，但不能因此忽视算法的研究。 将以计算量大小、存贮量多少、逻辑结构是否简单作为评定算法优劣的标准。 算法的递推性 算法有个基本特点，它们常采取递推化的形式。所谓递推化，其基本思想是将一个