同济工程数学线性代数重点复习讲义.pptVIP

线性代数复习讲义 * * 第一讲 行列式 一 排列与逆序数 级排列，逆序，逆序数的概念； 二 行列式概念 定义 三 余子式，代数余子式的概念 * 三 行列式的性质 计算行列式的理论依据。 四 展开定理 * 五 方阵的行列式 设A,B是阶n方阵，k为实数，则有下列结论： * 六 行列式的计算 计算依据： 1.行列式性质 2.展开定理 注意事项： 要在审题方面多花工夫，根据行列式元素的规律确定计算方法，切忌拿到题匆匆忙忙地盲目计算。 * 第二讲 矩阵 一 矩阵的概念 矩阵的概念，以及三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，对称矩阵 ，反对称阵 ，正交矩阵 ，伴随矩阵，分块矩阵等特殊矩阵的概念。 * 二 矩阵的运算 加法，减法，数乘，乘法，转置 三 运算律：重点记忆以下算律 1. 2. 3. * 四 逆矩阵 1.定义 2.性质 3.计算方法： （1）初等变换法: （2）公式法: （3）定义法:对于矩阵A,寻找矩阵B,使得 AB=E或BA=E * 五 矩阵的初等变换与初等矩阵 1.初等变换（三类） 2.初等矩阵（三类） 3.初等矩阵与初等变换之间的关系 * 第三讲 向量组 一 若干概念 1.n维行向量， n维列向量。 * 二 向量组线性相关性的概念与原理 1.线性相关和线性无关的定义 2.线性组合或线性表示的定义 3.判断 是否线性相关的方法： （1） 最简梯矩阵 （2）若 线性相关（无关），则 也线性相关（无关）。 4.向量组线性相关性的若干结论；定理1-4及其推论。例如： ⑴包含零向量的向量组线性相关； ⑵线性无关向量组的扩展组线性无关； ⑶分量对应成比例的两个向量线性相关； * 三 向量组的极大无关组和秩 1.极大无关组和秩的概念 2.求极大无关组和秩的方法： （1） 最简梯矩阵 （2） 的极大无关组所对应的 的部分组即为 的极大无关组。 （3）极大无关组所包含的向量个数即为向量组的秩。 * 第四讲 线性方程组 一 线性方程组的解的判定 1.对于齐次方程组 ，有 当 时，方程组仅有零解。 当 时，方程组有非零解。 2.对于非齐次方程组 ，有 当 时，方程组有解。 当 时，方程组无解。 * 二 线性方程组解的性质 三 线性方程组解的结构 * 第五讲 方阵的对角化 一 矩阵的特征值和特征向量 1.特征值和特征向量的定义 2.特征值和特征向量的求法： （1）解特征方程 ，得到 的全部特征根。 （2）解方程组 ，得到其基础解系，即为 的属于 的线性无关特征向量，而它们的线性组合即为 的属于 的全部特征向量。 3.结论：设 ， 为其特征根，则 * 二 相似矩阵 1.定义 2.性质 三 方阵可对角化的条件： * 四 一般矩阵 对角化的方法: (1)求出 的全部特征根和全部线性无关的 特征向量。 (2)以全部线性无关特征向量为列向量构造可逆矩阵 ,以全部特征值为主对角元构造对角阵 ，则 * *