线代1-2--工程数学.ppt

作业 P26 4（1），（3），（4）；5(1),(2); * 课前复习 几种特殊的行列式 这一系列格式行列式的值为 这一系列格式行列式的值为 几种特殊的行列式 行列式的性质与计算 性质1： 行列式与它的转置行列式相等。 称为D的转置行列式 证明： 则 由行列式定义 说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。 性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 证明： 设 交换s、t 两行，得 s行 t行 由行列式定义可知，D中任一项可以写成 因为 （2） （1） 显然这是 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且 （2）式右端的n个元素是按它们在 中所处的行标为自然顺序 排好的。因此 是 中的一项。 （3） 因为，排列 与排列 的 奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明 了D的任一项的反号是 中的项，同样可以证明 中的 任一项的反号也是D中的项。 因此，D＝－D 记法 行列式的第s行： 行列式的第s列： 交换s、t两行： 交换s、t两列： 推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0 性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。 推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 记法 第s行乘以k： 第s列乘以k: 推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。 性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。 ＝ 性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： 证明： 作 得 利用行列式性质计算： 目标 化为三角形行列式 例1： 计算 例2： 计算 例3： 计算 例4： 计算 注： 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法， 要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次 运算是作用在前一次运算结果上。 例如： 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， 叫做元素 的代数余子式． 例如 一、余子式与代数余子式 记作 注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 即 ． 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式 引理 的乘积， 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 证 当 位于首位时,即 即有 又 从而 命题得证 得 把 的第 行依次与第 行，第 行，…第1行对调 下证一般情形, 此时 得 把 的第 列依次与第 列，第 列，…第1列对调 中的余子式 注意到： 元素 在行列式 中的余子式仍然是 在行列式 于是有 故 即 所以命题得证 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 二、行列式按行（列）展开法则 定理 利用行列式的性质四--拆分原理有 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 推论 命题得证 把行列式 按第 行展开有 证 把行列式中的 换成 可得 相同 同理 命题得证 关于代数余子式的重要性质 例1 计算行列式常用方法：化零，展开. 三、应用举例 解 例2 第四行各元素余子式之和为 分析 以 表示 中元素 的余子式，则有