线性代数概述第一章　行列式.ppt

线性代数概述 应用：线性代数是一门应用极为广泛的理论基础课，在很多领域中都有应用。如： 自然科学 社会科学 工程技术 经济和管理 各大学已经将线性代数作为必须开设的基础课程之一。 研究对象：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间。 特点：研究的变量数量多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推理，又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算。 第一章　行列式 第1节　二阶与三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１） 类似地，消去　　得 二、三阶行列式 第２节、全排列及其逆序数 第三节、n阶行列式的定义 第5节　行列式的性质 二、应用举例 几种特殊的行列式 这一系列格式行列式的值为 这一系列格式行列式的值为 几种特殊的行列式 小结 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 第4节 对换 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 定理2 时，n个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 证明 按定义 又因为行列式D可表示为 即 故 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 变换 两行得到的, 于是 则有 即当 时, 当 时, 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 故 证毕 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 * 两式相减 当　　　　　　　　　时，求得方程组（１）的解为 若记 那么 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算 对角线法则 例如 例一　求解二元线性方程组 同理，称 为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆 例1 解 按对角线法则，有 例2 证明 证明： 中，6项的行下标全为123，而列下标分别为 在三阶行列式 123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。 定义 由1，2，· · · ，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。记为 j1 j2 · · · jn. 例如 32541 是一个5级全排列 一个8级全排列 3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为 定义 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。 排列的逆序数 3