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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第1章 绪论 数值计算方法及主要内容 误差及误差分析 //算法的稳定性 1.1数值计算方法 如何利用计算工具求出数学问题的数值解 科学计算愈来愈重要 应用遍及各行各业, 天气预报 飞机、汽车及轮船的外形设计 其它高科技研究 三大科学方法 理论研究 科学实验 计算科学 意义 提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂性好的各种常用算法 在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的 对于这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效. 解决问题的过程 由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程,是应用数学的任务 实际问题 数学问题 提供计算方法 程序设计 上机计算 结果分析 实际问题 数学问题/模型 数学模型 数值计算方法 结果 根据数学模型提出求解的数值计算方法,直到编出程序上机算出解,是计算数学的任务 无限维 有限维 无限过程 有限过程 微分方程 代数方程 非线性问题 线性问题 数学模型 数值计算方法 替代问题与原问题的解要保持一致 误差分析 复杂的数学模型,不能直接计算 比如:exp(x) 例1.1.1计算exp(1.5)的值 解 重点研究 求解的数值方法及与此有关的理论 方法的收敛性,稳定性 误差分析 计算时间(时间复杂度) 占用内存空间(空间复杂度) 例1 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 计算多项式: 直接计算:运算量(乘) 秦九韶算法(1247年): 运算量: 例 2 解线性方程组 其中, ? 克兰姆(Cramer)法则: 运算量(乘除): ?高斯消元法(Gauss): 运算量(乘除) Gauss: 2641次; Cramer: 19 21 研究例子:求解线性方程组 其准确解为x1=x2=x3=1 如把方程组的系数舍入 成两位有效数字 它的解为x1 =-6.222... x2=38.25… x3=-33.65... 例 3 稳定性 数 整数 Integer 离散 无限 有理数 Rational Number 稠密 无限 实数 Real Number 连续 无限 复数 Complex Number 连续 无限 1.误差 计算机中的数 整数 int 离散 有限 浮点数 float 离散 有限 计算机中数的表示和运算误差 1.3误差 现 实 世 界 研究 对象 测量 数据 数学模型的建立 计算方法 的构成 数值运算 的执行 测量 误差 模型 误差 方法 误差 舍入 误差 结果 在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的. 例:试求摆长为L的单摆运动周期 误差和有效数字 误差估计 由于准确值在一般情况下是未知的,因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的 但有可能给出估计 误差界就是用于误差估计的。 误差估计 有效数字 在工程上,舍入误差的概念就转化为有效数字。 3.1415 数值计算中值得注意的问题 一、防止相近的两数相减 (会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做). 例1: 各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例2:当较大时,计算 保留4位有效数字 直接算=000.0,when x=10000 =0.005 二、防止大数吃小数. 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 例:求一元二次方程x2-(108 +1)x+108=0 的实数根. 易得x1=108,x2=1. 字长为16位的单精度计算机来计算, x1≈108 ,x2≈0 怎样计算可得较好的结果? 三、防止接近零的数做除数,大数做乘数 分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做. 四、注意计算步
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