解的叠加原理.ppt

§7.6 高阶线性微分方程 §7.6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、解的叠加原理 解的叠加原理 三、线性方程解的结构 高等数学（ZYH） 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 例1 质量为m 的物体悬挂在一端固定的弹簧上, 物体将在弹性力、阻力及外干扰力的作用 解 若用手下拉物体使它离开平衡位置后放开, 取平衡时（此时重力与弹力抵消） 物体位置为坐标原点，建立坐标系如图. 设t 时刻物体位移为x(t).则 x 满足 下运动, 设弹簧的弹性系数为c , 阻力的大 小与运动速度成正比, 方向相反, 比例系数 为μ, 外干扰力 . 试建立位移 x 满足的微分方程. (2) 有阻尼自由振动方程： (3) 无阻尼强迫振动方程： (1) 无阻尼自由振动方程： （称 n为阻尼系数, μ 为阻力系数, c 为弹性系数） 则方程可化为标准形式： (4) 有阻尼强迫振动方程： 分别是线性方程 的解, 必为下方程的解 证 代入方程左边, 得 解的叠加原理 分别是方程 的解,则 必是下方程的解： 定理1的结论称为解的叠加原理，且可推广到一般 由叠加原理知, 若 是方程 的两个解, 也是该方程的解. 但它并不一定是通解. 为此需引入线性相关的概念. 说明 例如, 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 齐次线性方程解的结构 是齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为