小波分析笔记一。.docVIP

小波方法 一、小波的由来 传统的信号分析是建立在傅里叶变换基础之上的，由于傅里叶变换是一种全局的变换，而且要么完全在时域，要么完全在频域，因而无法描述信号的时频局部性质。而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质，为了分析和处理非平稳信号，科学家们对傅里叶分析进行了推广，提出并发展了一系列新的信号分析理论。其中小波分析理论是其中应用最广，使用起来最便捷的一种分析方法。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论和应用的双重意义。其实这是一个很新的理论，由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，但在几十年内理论就发展的如此完善，应用的范围如此之广大，可见其确实是一种很好用的方法。 小波这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性，而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。 小波分析的基本数学思想源自经典的调和分析，是傅里叶分析的拓展和延伸，解决了傅里叶分析的局限性，是傅里叶分析发展中的一个里程碑。 付里叶分析就其实质而言是将（0—2）上平方可积函数空间中任一函数分解成不同波函数的叠加。是现代工程中应用最广泛的数学方法之一，尤其适用于信号及图象的处理。在L(R)空间中利用傅里叶变换，可将信号从时域变到频域，并分解成不同尺度上连续重复的成分，据此完成从不同空间对同一信号进行分解分析，计算结果通过逆变换返回原空间。在L(R)空间中记f∈L(R)，这时定义f的傅里叶变换， 在物理上或工程上，常称为f的频谱，可以证明，而且有严谨的反变换 此式的物理意义是把“信号”f分解为e的加权迭加，事实上， 就是f关于频率为的谐波分量的振幅和相位。且此变换很容易推广到d维空间R上的函数，即f∈L( R)的情形。这样我们就可以将原来对时域或空域上的“信号”f的研究转化为对它的频谱的研究。傅里叶变换使来自不同领域，千差万别的实际问题得以采用统一的处理方法解决，有效地简化了数学计算及分析过程。但是傅里叶分析是一种频谱分析，只能揭示信号f(x)的频谱结构，即傅里叶系数是信号f(x)在时间域上的加权平均。要想用它来反映信号f(x)在时间域上的局部性质是不可能的，而且傅里叶分析的另一个缺点就是分辨率不够高，在傅里叶系数中，由于频谱点的等距分布，不能很好的反映一些具有突变的非平稳信号而信号的局部性质无论是在理论研究方面还是在实际应用方面都是十分重要的，为了解决这一问题产生了带有时限函数的傅里叶变换，这种傅里叶变换可以对时域和频域起到双重限制作用。在这种分析工具中，傅里叶变换基函数起频限作用，时限函数起时限作用。时限函数又称为窗口函数，带有窗口的傅里叶函数称为加窗傅里叶函数。 其中的g是某个确定的具有单位能量（即属于空间L(R)）的函数，称为窗函数，这种函数也有反变换 加上窗口以后我们就可以把信号分段来进行研究，已经能刻画局部信息。但是加窗傅里叶分析函数的窗口宽度是固定的，g取定后窗口的宽度也就固定了，又因为加窗傅里叶函数只能对稳定的信号进行分析研究。而实际的信号中中很少有平稳信号，所以人们希望有一种能随着频率的变化能自动改变窗口宽度的函数，并试图寻找能表示函数空间L(R)外的函数空间的一种基函数，使这种得这种函数基既能保持指数函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，并且希望这种函数基是由某个具有光滑性、紧支撑性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。现在我们称这种函数基为小波基，对它的存在性、构造和性质的研究便构成小波分析研究的内容。它既在整体上包括了信号的全部信息，又可描述任一局部时间内信号的激烈程度。表现出“变焦距”的特征。小波变换是这样的一种变换：选取h∈ L(R)，使满足条件 则对任一f∈L（R），定义f（关于h的）小波变换为 相应的逆变换为 其中h是母小波函数，观察上面几式可以看出这三种变换都是积分形式，只是积分的“壳”函数和参数取得不同。观察小波变换函数，h有一定的震荡性，这一震荡性表明它的某种频率特性，且有随着频率的变化而变化的特点，a可视为频率参数，b是时空参数。在实际应用中，常选取h与为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。 概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以