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n次独立重复试验的问题 1.内容概述 （1）考点动态 n次独立重复试验是概率与统计中一个重要的知识点，在高考中常与概率计算、分布列、数学期望等知识点相结合考查。 考点分析 重点：解决n次独立重复试验问题的基本步骤 难点：独立重复试验模型的构建 考点误区 在求事件概率时易将相互独立事件与独立重复试验这两类事件混淆 ?研究的对象不同：相互独立事件的研究对象是多个不同的事件，这些事件发生的概率不一定相等的，而独立重复试验的研究对象是同一个试验多次重复的结果，每一次试验中事件发生的概率都是相等的。 ?独立重复试验是相互独立事件的特例，虽然两者之间存在着明显的差异，但如果具备一定的条件，两者也可以相互转化。在相互独立事件中如果每个事件发生的概率都相等，则我们也可以将其视为独立重复试验。如果有“恰好”字样的考虑用独立重复试验的概率公式来计算。 2.例题示范 例1投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 解：由题意可知：所求事件是3次都中与3次中恰好中2次两个互斥事件的和 （1）3次都中事件的概率为 （2）3次中恰好中2次事件的概率为 该同学通过测试的概率为 SKIPIF 1 0 故选A. 评析：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式。 解答本题时，先想到所求事件是3次都中与3次中恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是试验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，这时需要判断事件是否为独立重复试验，独立重复试验符合三个条件: ?各次试验中的事件是相互独立的（投篮一次当做一次试验，每次都相互独立的） ?每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生（每次投篮的结果要么投中要么未投中） ?每次试验中，事件A发生的概率是相同的（记投篮投中为事件A，每次投篮投中的概率相等） 若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为。 通过此题可以归纳出解决n次独立重复试验的问题步骤 第一步，确定事件的性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，利用公式进行运算； 第四步，写出简明答案。 例2（2017年高考数学全国二卷理科第13题）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝ 解：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即~ 由二项分布的方差公式可得 评析：本题主要考查二项分布的期望与方差，解题的关键是构建独立重复试验模型。 解答本题时，通过求随机变量X的分布列来求方差，而随机变量X的取值可以从1取到100，这样运算量很大，通过分析条件中在重复地做同一件事就是抽取产品，容易联想到n次独立重复试验所对应的二项分布，判断一个随机变量是否服从二项分布，满足两个条件 ?是否为n次独立重复试验（抽取产品一次当作一次试验，每一次抽到的产品要么是二等品，要么不是二等品，且每次抽到二等品的概率相等） ?随机变量是否为在这n次独立重复试验中事件A发生的次数（记抽到二等品为事件A，随机变量X为100次独立重复试验中抽到二等品件数） 所以X服从二项分布，记作~，其中n,p为参数，n表示重复的次数,p表示一次试验中事件A发生的概率，则 例3在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射周是相互独立的，且命中的概率都是 ?? （1）求油罐被引爆的概率； ?? （2）如果引爆或子弹打光则停止，求射击次数不小于4的概率. 解：（1）油罐被引爆的对立事件为油罐没有被引爆，没有被引爆的可能情况是：射击5次只击中1次或一次也没有击中。 ???????????? （2）射击数不小于4的事件包括射击4次引爆油罐（第4次必须击中）和射击5次（前4次只击中一次或一次也没击中，无需考虑第5次是否击中） ? 评析：本题主要考查n次独立重复试验的概率公式，解题关键是要审清是多少次试验恰好发生K次的事件。 解答本题时，第（1）小问考虑用对立事件来解决，对立事件为油罐没有被引爆，第（2）问，将目标分成两个互斥事件，分别为射击4次引爆油罐（第4次必须击中）和射击5次（前4次只击中一次或一次也没击中，无需考虑第5次是否击中），其中射击4次事件A，不能理解成4次独立重复试验中恰好发生2次的事件。 n次独立重复试验的问题（配套练习） 1.抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时