第九章 数字信号处理中的有限字长效应.ppt

9.5 极限环振荡 则有： 又因： 又由于 将a1、a2与p1、p2的关系代入，得到 即 二阶IIR滤波器的稳定区域 即在三角形AFE内系统方才是稳定的。 对于定点补码运算，如果两个正的定点数相加，和数大于1，其小数点左边的符号位得到进位，符号位为1，和数就可理解为负数，补码加法器的非线性特性见下图。 图 补码加法器的输入输出特性 当输入归零后，二阶滤波器的输出为 经补码加法器后，其真实输出为 因此，如果 ，则不出现溢出。 假设 和 ，则不产生溢出振荡的条件是 满足上式条件的区域正是上图阴影部分的区域。在采用补码加法器时，才不会产生溢出。 这种溢出效应在输出信号中产生很大的误差，某些情况下，它使滤波器输出在最大幅度限界之间振荡，它的持续与否与其后输入的序列无关。 消除这种振荡的一种简单而有效的办法是采用具有饱和溢出处理的加法器。如下图 图 补码加法器的饱和溢出处理 * 把 看成信号， 按帕塞瓦尔定理：时域能量（功率）= 频域能量（功率），上式还可以写成： 注：这是 无直流分量，即舍入白噪时的结果，如果是截尾 白噪，有一个直流分量项 ，相应还有一个 项输出。 返回 例：设有一8位（b=7）的A/D转换器，它的输出 经下列系统函数的IIR滤波器： 求此滤波器输出端的量化噪声功率。 解： 由于A/D转换器的量化效应，输入此滤波器的噪声功率为 根据留数定理，可求得 9.4 数字滤波器的系数量化效应 理想数字滤波器 系数都是无限精度。由于有限字长效应，系数量化会使零极点偏移， 造成频响有偏移，甚至严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外， 系统就不稳定，滤波器就不能使用了。 系数量化对滤波器的影响固然和字长有关，和滤波器的结构也有密切的关系。通过极点灵敏度的分析，能反应不同结构下，系数量化对零、极点位置的影响。从而选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求。 一、极点位置灵敏度 极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的灵敏程度。 现在分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的系统函数 当系数量化后，其实际系统函数为： 式中， 分别是量化以后的系数 现在分析极点的情况，设A(z)的根为zi，于是 令 的极点为 此式表明 值的大小决定着系数 的偏差 对极点偏差 的影响程度。 越大， 对 的影响也越大， 就是极点 对系数 变化的灵敏度，下面根据多项式A(z)来求这个极点位置灵敏度的表达式 由此得出 根据A(z)的表达式，可以求得 和 因此，极点位置灵敏度为 从这个公式看到，分母中的每个因子代表着某一极点指向当前极点的矢量，而整个分母正是所有极点指向当前极点的矢量的乘积。这些矢量越长即极点彼此间距越远，极点位置灵敏度就越低；这些矢量越短即极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高。如下图所示 矢量越长，极点彼此间越远时，极点位置灵敏度就越低；矢量越短，极点彼此越密集时，极点位置灵敏度就越高。上图(a)表示带通滤波器，(b)图表示低通滤波器，前者极点间距离比后者长，因此前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。 现在以一个低通滤波器为例，来说明系数的微小变动将对极点位置产生很大影响，并可能使系统变为不稳定。 例：设一低通滤波器的系统函数为 式中， 并且 分析计算系数量化对极点位置的影响。 解：经计算求得H(z)的极点分别是 下面研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化 ，这种情况并不是最坏的情况，如果这种情况下系数 的量化已导致极点位置过大地移动，那当所有系数同时有量化误差时可能出现的最坏情况将更严重。 由于 ，所以 如果字长为8位，则由量化引起的误差 可达 约为0.002，求得 极点远远超出单位园，这样的变化显然是太大了。 * 1.?????? IIR数字滤波器的系统量化的统计分析 其中 是量化误差 采用定点制舍入处理时， 范围为 均值为零 ，方差为 二、系数量化效应的统计分析 * 定义频响的偏差度量为频响的均方偏差 * 2.?????? FIR数字滤波器的系数量化的统计界限 无论FIR还是IIR滤波器 偶对称 频响