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高考中的填空题计算问题 邓城 高考中的部分填空题有时会出现“变量”多、运算较为复杂的问题。一般来说，除了提高计算的基本功外，还需优化“算理”，并且能利用一些常见的性质结论来快速破解复杂的计算问题。下面选取圆锥曲线中几个典型的计算难度较大的题目来讲解计算问题如何处理。 例1设,是椭圆长轴的两个端点，、是垂直于的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程是。 画外音：本题动态直线有三条，动点有三个，咋一看去无从下手。仔细分析题目所给条件，尽量将条件“数学化”，发现：、、三点共线；、、三点共线；、关于轴对称。于是可以将各点坐标化，通过三点共线时斜率相等表达出式子。下面看第一种解法： 解法1：由已知,、。设,则,交点, 则由、、三点共线,得①。 又、、三点共线,得② ①②得，又因为，所以，故有， 化得的轨迹方程是。 画外音：这个方法利用三点共线表达出斜率后将①、②相乘再化简，变化巧妙但不容易想到。但注意到有如下性质，我们可以有新的快速解法。 性质1：在椭圆上的任意一点与长轴两顶点连线的斜率之积为. 性质2：在双曲线上的任意一点与实轴两顶点连线的斜率之积为。 解法2：注意到,是椭圆的左右顶点，且由椭圆的对称性有，利用性质1，有，所以，故的轨迹方程是以,为顶点的双曲线，方程为。 对性质1、2进行推广有： 性质3：,是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上的一动点，则有。 性质4:,是双曲线上关于原点对称的两点， 是双曲线上的一动点，则有。 例2已知直线与椭圆相交于两点。若椭圆上存在点，使得是等边三角形，则椭圆的离心率 画外音：初步分析可知，因为直线的方程已经知道，是等边三角形，所以可以利用求出的方程和长度，进而得到的关系，然后可求得到离心率 解法1：因为， 所以； 由题设直线方程为， 所以 所以 所以 解法2：设的倾斜角为，则有，，，所以，又由性质3得，所以，，化得。 例3已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接。若，，则该双曲线的离心率为 画外音：跟例2相比，题目的条件由椭圆变成双曲线，但是我们可以发现题目中仍然有两个点关于原点对称，另外一点在双曲线上，这样我们可以考虑使用性质4来快速破解运算，避免繁杂的计算。 解：注意到、两点关于原点对称，且点在双曲线上，由性质4有，由，得，由得，故有，所以离心率。 结束语 通过以上三个例题希望大家对填空题中的计算问题有个新的认识：除了提高自身的计算基本功，还需观察问题是否有其它的解题思路，寻找更为本质的解法，优化算法，从而避免繁琐的计算，快速解决问题。 高考题中的计算问题微视频配套练习 1.设,是双曲线实轴的两个顶点，、是垂直于的弦的端点，则直线与的交点的轨迹方程是。 2.已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点。若双曲线上存在点，使得是等腰直角三角形，则双曲线的离心率 3.已知椭圆,、是其左右顶点,动点满足,连接交椭圆于点,在轴上有异于点、的定点,以为直径的圆经过直线、的交点,则点的坐标为　　　　。 参考答案： 1、解：注意到,是双曲线的左右顶点，且由双曲线的对称性有，利用性质2，有，所以，故的轨迹方程是以,为顶点的椭圆，方程为. 2、解：注意到、两点关于原点对称，且点在双曲线上，由性质4有，由及的倾斜角为得，由得，故有，所以离心率. 3、解：因为以为直径的圆经过直线、的交点，所以，又因为点在椭圆上，所以，所以，又因为，，所以，得，故有的坐标为.