离散型随机变量概率分布求解策略.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 7 离散型随机变量的问题(2)离散型随机变量分布的求解策略 主讲人： 潘梅耘 一、内容概述 考点动态 利用常见的三种概型（古典概型、超几何分布概型、贝努利概型）求解离散型随机变量分布列是数学高考的一大热点问题，每年均有解答题的考查，属于中高档题。 考点分析 重点：准确选用排列组合公式求解古典概型的概率，正确选用三种概率模型公式解题。 难点：概率模型的确定与转化。 考点误区 (1) 不能正确选用计数原理、分不清概率模型 对于概率问题的综合题，首先要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、超几何概型、贝努利概型中的某一种；其次，古典概型选用正确合理的计数方法求出概率，超几何概型、贝努利概型直接选用相应的概率公式求解. (2)不能将复合事件准确拆分为“和事件”或“积事件” 二、例题示范 例1 （扬州市高二第二学期期末调研测试试卷理科17） 袋中装有4个黑球和3个白球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球。甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸取后均不放回，直到有一人摸取到白球即终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示摸球终止时所需的摸球的次数. (1)求甲乙两人各摸一次球就终止的概率； (2)求随机变量的概率分布列和数学期望. 本题是扬州市高二第二学期期末调研测试试卷理科第17题 首先我们一起分析一下题意和解题思路： 1. 因为“每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，并且基本事件是有限的”，所以有关概率计算可用古典概型公式（表示基本事件的个数，表示指定事件的个数）求解. 2. 因为“甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸取后均不放回”，每次摸球事件可看成新样本空间下的独立事件，所以可考虑将每次摸球的概率相乘. 为此我们有两种解题思路： 思路1：利用古典概型公式求解概率； 思路2：利用条件事件同时发生的概率公式求解概率. 注意事项：两种解题思路均要搞清：“不放回”、“直到有一人摸取到白球即终止”的含义，正确得出“指定事件”的个数. 解法1：(1)甲乙两人各摸一次球就终止的含意为“甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球”，此时，由题， 答：甲乙两人各摸一次球就终止的概率为. (2)袋中的7个球 3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5. ，，， ，. 随机变量的概率分布列为： 1 2 3 4 5 所以. 解法2：(1)甲乙两人各摸一次球就终止的含意为“甲先摸，摸到的是黑球事件记为A，概率为，乙后摸，摸到的是白球事件记为B，概率为”，此时，所以. 答：甲乙两人各摸一次球就终止的概率为. (2)袋中的7个球 3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5. ，，， ，. 随机变量的概率分布列为： 1 2 3 4 5 所以. 思考1：解法1中“基本事件”的个数和“指定事件”的个数能否用组合数表示？为什么？ 思考2：对于随机变量概率，在两种解法中处理有何不同？ 解题反思： 反思1：利用古典概率公式求解概率时，“基本事件”的个数和“指定事件”的个数计数原则是“三一致：供选元素一致、参选元素一致 、有序无序一致”，本题中条件： “直到有一人摸取到白球即终止”隐含着“有序性”，所以解法1中“基本事件”的个数和“指定事件”的个数不能用组合数表示. 反思2：对于随机变量概率， 法1理解为用排列公式计数来求古典概率问题，法2理解为用条件事件变形公式表示两个或多个事件同时发生的概率问题，体现了思维的多样性. 反思3：求随机变量的分布步骤：1 定数字，2 算概率，3 写分布 适时总结： 策略一：古典概型概率分布 由排列组合法计数代入古典概型公式 根据排列或组合公式求得相应基本事件是个数 法1：代入古典概型公式，分子分母计数时要遵循“三一致”的原则，方能准确求解. 法2：利用条件概率变形公式每次摸球事件可看成新样本空间下的独立事件 例2(苏教版选修2-3P69例1) 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的期望． 问题：这是个什么概型？为什么？如何求解？ 答：这是超几何分布模型，因为有两类对象：红球和白球，且描述的是不放回抽样，符合超几何分布概型特征。 分析：从口袋中摸出5个球相当于无放回地抽取n=5个产品，随机变量X为5个球中的红球个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．代入超几何分布公式即可求解。 解：从口袋中摸出5个球相当于抽取n=5个产品，随机变量X为5个球中的红球个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．代入超几何分布公式,r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)， X 0 1 2 3 4 5