合情推理的问题.docVIP

PAGE PAGE 5 合情推理 1内容概述 类比是由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，是由特殊到特殊的推理。类比推理是研究数学的重要思想方法，是寻找解题思路，猜想问题答案或得出结论的有效方法，从近几年高考来看，类比思想已经渗透到其中，成为高考的热点问题。开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，他能揭示自然界的秘密。” 我们经常会将平面类比空间、数类比向量、无限类比有限、不等类比相等等。使用类比法的基本思路是：先找出具有两类对象之间可以确切表述的特征，然后用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想。 2 例题示范 例1 （2017 全国百强校） 于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（ ） A. 各正三角形内的点 B. 各正三角形某高线上的点 C. 各正三角形的中心 D. 各正三角形各边的中点 解：如图根据类比推理，猜想正四面体的内切球切于四面体各面中心，因为，当球和正四面体的各面相切时，球心到四个面的距离都是球的半径，球心到各面三个顶点的距离相等，因此，切点恰好应为各面正三角形的中心。 评析：立体几何是建立在平面几何基础之上的，研究的是空间图形，但是解决立体几何问题的关键是转化为平面几何解决，类比平面几何的研究方法，解决空间图形问题。比如空间二面角类比平面角、空间两个平面的距离问题转化为两点间的距离等等，因此类比的思想方法在立体几何中占有重要地位。 类比等差数列，确定等比数列的对应结论。 数列 等差数列首项，公差 等比数列首项为 ，公比为 定义 （） 中项 若成等差，则为的等差中项，且 若成等比，且，则的等比中项为 通项公式 前项和 若成等差 若 若 成等差 成等差 则 成等比 部分和 成等差数列 成等比数列 评析：高中两个重要的数列模型是等差数列和等比数列，它们都是具有某种规律的数列，其共同特点是后项与前项的差（商）都是同一常数，因此在解决其中一类问题时，就可以类比其中一个的特性，来猜测另一个的特性。类比法在解决等差和等比问题时起着重要作用。 例3(2017江苏省沭阳县) “圆上一点处切线方程 为”．类比圆的这个结论得到关于过 椭圆上一点的切线 方程为______． 解： 类比过圆上一点的切线方程，用 代 ， 用 代 ，其它都不变，即可得过椭圆 上一点 的切线方程 为 ，故答案为 直接求法 设此切线的斜率为，切线方程为：， 联立方程组，，消去，得到关于 的一元二次方程，利用相切，判别式，从而确定 出斜率，带入直线方程，化简后即可得到切线方程为 。 总结： 过下面曲线上一点的切线方程 曲线方程 切线方程 过曲线上一点的切线方程是： 将方程中的，，, ,系数及常数项不变 评析：在解析几何中，圆锥曲线的性质可以类比圆的性质。而圆锥曲线中，椭圆、双曲线、抛物线三种曲线，它们的共同特征是：到定点的距离比上到定直线的距离等于定值的共同特点，因此，在解决圆锥曲线问题时，经常采用类比的方法，由一种曲线推出或猜测另一类曲线结论。 总结：类比推理的一般步骤： （1）找出两类事物之间的相似性的特性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）； （3）必要时证明这个猜想。 希望在解答数学问题中，主动的运用类比推理解决问题。 合情推理 3 配套练习 1.(2017全国百强校) 如图在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(ab).若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：EF＝，利用以上结论，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0＝__________（利用m，n，S1，S2表示）． 2. （2017江苏省张家港高级中学期中考试数学试题） 对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0. 将它类比到平面的情形是： 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0. 将它类比到空间的情形应该是： 若O是四面体ABCD内一点，则有___________________________________________． 3．（全国市级联考word】山东省烟台市2017届高三适应性练习） 在正项等差数列中有成立，则在正项等比数列中，类似的结论为__________． 答案： 1.解：. 在平面几何中类比几何性质时，一般为由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质；故由：“”，类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的结论是：