排列与组合的问题.docVIP

集合语言在计数问题中的应用 重庆市育才中学 王历权 1内容概述 “课标”要求“会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力”，展国培老师指出，不应对集合的认识停留在集合的交并补等初级认识层面上，集合是一个本源概念，作为现代数学的一个重要概念贯穿于整个高中数学课程，其触角已深入高中现行教材的各个章节，反映了数学的整体性原则。数学用特定的符号或图像表达数学对象、规律、性质，有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式，应在运用的过程中体会并感悟集合语言的简练、准确和在简化思维过程这一点上的无可替代性，要充分认识集合语言是思维的载体、交流思想与信息的工具，具有高度的概括性、准确性和简明性． 计数方法的研究离不开集合，它能使得人们方便简洁的呈现数学思想和成果，是内涵丰富的“信息块”和数学思维活动的理想载体，能缩短数学思维过程，使数学对象的表达变得简约精炼。 如，我们可以从集合的角度来理解分类计数原理，完成一件事情有两类办法，在类办法中有种方法，在类办法中有种方法，即，，那么完成这件事情的不同方法数是，这就是当时的分类计数原理． 2例题示范 例1 7人站成一排，甲不站最左边，乙不站最右边，共有多少种站法？ 解：记所有符合条件的7个人的排列构成集合，甲站最左边的7个人的排列构成集合，乙站最右边的7个人的排列构成集合，则由容斥原理： ==3720． 评析：去杂法（排除法）就是容斥原理在计数中的现实版本． 图1例2四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使得它们和点在同一平面内，有多少种不同的取法？ 图1 分析：可先将顶点、棱的中点或棱集在两个集合中，再分别从两个集合中取若干元素，这样能保证不重不漏． 解：记集合，，若从除外9个点中取3个点使之与点共面，则可分四种情况： （1）中取3个元素，中取0个元素，有0种情况； （2）中取2个元素，中取1个元素，有种情况； （3）中取1个元素，中取2个元素，有种情况； （4）中取0个元素，中取3个元素，有3种情况； 共33种不同的取法． 评析：对元素合理分类是保证分类讨论中不重不漏的重要一环． 例3连接正三棱柱的顶点的所有直线中，共有多少对异面直线？ 解：可将两个顶点连成的直线分成三类，A类：三棱柱的侧棱，3条，B类：三棱柱的上下底面三角形的边，共6条，C类：面对角线，6条． 则可分六种情况： 图2（1）A类中直线互相平行，有0 图2 （2）B类直线中有6对异面直线； （3）C类直线中有6对异面直线； （4）A类B类直线中各取一条，共有6对异面直线； （5）A类C类直线中各取一条，共有6对异面直线； （6）B类C类直线中各取一条，共有12对异面直线． 综上，共有36对异面直线． 评析：要注意将已知条件中的元素按性质分成几类． 3配套练习 1. (1)平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可以作多少个个三角形． (2)空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面． 2.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_________. 3. 空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？ 答案： 1. 解：(1)把9个点分为两类： 第一类为共线的4个点；第二类为其余的5个点； 从第二类中任意选取三个点，可作 个三角形； 从第一类中任意选取一个点，从第二类中任意选取2个点，可作 个三角形； 从第一类中任意选取2个点，从第二类中任意选取1个点，可作 个三角形； 利用分类计数原理，可得总共可作三角形个数为 (个)． 注意：本题也可解为 (个)，请你加以解释． (2)这个问题可分四类加以考虑． ① 个共面点决定1个平面； ② 个共面点中任何 个点和其余 个点中任意一点决定 个平面； ③ 个共面点中任一点和其余 个点中任意 个点决定 个平面； ④ 个点中任何 个点决定 个平面． 总共决定平面的个数为 (个)． 2. 解：将两个顶点确定的直线分成三类：正方体的棱、面对角线、体对角线，答案：36． 3. 解：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为： 个．