有限元理论和方法-第7讲.docVIP

讲 授 内 容 备 注 第7讲(第7周) 2. 应变矩阵 确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。作为平面问题，单元内具有3个应变分量εx、εy、γxy（各符号的意义见附录1），用矩阵表示为 将（2.1.4）式代入上式中，得到 或 (2-1 式中B称为应变矩阵，写为分块形式，即 B=[Bi Bj Bm] (2- 而其子阵为 (2-1 3节点三角形单元的B是常量阵，所以称为常应变单元。在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。 上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，无关的应变ε0又称为初应变 ε0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度 式中，Ti、Tj、Tm分别为节点i、j、m的温度，Tref为参考温度。 对于平面应力问题，温度引起的初始应变为 其中，α为线膨胀系数。 由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形，所以γxy0=0。以后所述问题，除非特别说明，都指各向同性介质。 对平面应力问题，温度引起的初始应变为 当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。以后所述问题，除非特别说明，不考虑温度影响。 单元应力 根据物理方程，对平面应力问题，取应变分量 由上式解出 (2-1 式中，D为弹性矩阵， (2-1-11 取决于弹性常数E和μ。 将式（2-1-7）代入式（2 (2-1-1 (2-1-1 式中，S为应力矩阵，反映了单元应力与单元节点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为常量，所以单元边界上有应力阶越，随单元划分变密，突变将减小。 对平面应变问题，有四个应力分量：σx、σy、τxy和σz。取应变分量 由应变分量解出σx、σy、τxy，弹性矩阵为 (2-1-14 根据物理方程可以求解各应力分量。 4. 单元刚度矩阵 单元节点力为Fe，节点虚位移为(δ*)e，节点虚应变为(ε*)e，平面单元的厚度为t。应用虚位移原理 将及代入上式整理得到 可见单元刚度矩阵为 (2-1-15 对于三节点三角形单元，面积为A，所取为线性位移模式，单元刚度矩阵为 进一步表示为 对平面应力问题有 (2-1-16 单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块Kij 其中：上标1表示x方向自由度，2表示y方向自由度，后一上标代表单位位移的方向，前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的水平节点力分量，表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的竖直节点力分量，其余类推。 单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具有奇异性。 5. 等效节点载荷 有限单元法分析只采用节点载荷，作用于单元上的非节点载荷都必须移置为等效节点载荷。可依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。 (1)集中力的移置。设单元ijm内坐标为(x，y)的任意一点M受有集中载荷f=[fx fy]T，移置为等效节点载荷P e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T。假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为u*=NT(δ*)e，其中(δ*)e为单元节点虚位移。按照静力等效原则有 则 (2-1-17) (2)体力的移置。设单元承受有分布体力，单位体积的体力记为q＝[qx qy]T，其等效节点荷载为 (2-1-18) (3)面力的移置。设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=[px py]T，在此边界上取微面积tds，对整个边界面积分，得到 (2-1-19) 例2-1 求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图2-2所示ij边受x方向均布力p、图2-3所示jm边受x方向线性分布力。 图2-2 均布力 图2-3 线性分布力 求解说明 利用上述公式求等效节点载荷，当原载荷是分布体力或面力时，进行积分