极限函数和函数的连续性 可积性和可微性.docVIP

极限函数与函数的连续性 可积性与可微性 主要讨论连极限函数与函数的连续性 可积性与可微性。 定理13.2.1 设函数列在上一致收敛于，且对， ，则、均存在，且相等，即 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理13.9（连续性） 若函数列在区间I上一致收敛于，且对，在I上连续，则在I上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 在区间I上不一致收敛。如：在上。 定理13.10（可积性） 若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 。 注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数 ，。 解：（略） 定理13.11（可微性） 设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 。 注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛； 注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 例2、设函数列 ，。 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。 定理13-12（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 。 定理13-13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理13-14（逐项求导）若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数，为函数项级数的收敛点，且在区间上一致收敛，则 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。