2_8向量组的正交化.pptVIP

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2019-11-04 发布于江苏
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2_8向量组的正交化.ppt

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《线性代数》下页结束返回证明: (反证) 设a1，a2，???，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，???，am线性表示，即有一组数 k2，???，km，使 a1＝k2a2+? ? ?+kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+? ? ?+kmam) = (a1 , k2a2)+ ? ? ?+ (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ ? ? ?+ km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，???，am线性无关. 定理1 正交向量组是线性无关的向量组. 下页 2.8 向量组的正交化定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,???,am，令则向量组b1,b2,???,bm是正交向量组. 下页施密特正交化方法另外：①很明显，向量组a1,a2,???,am可由向量组b1,b2,???,bm线性表示. 下页由此可知，若向量组a1,a2,???,am为AX=o的一个基础解系，则向量组b1,b2,???,bm也为AX=o的一个基础解系. ②向量组b1,b2,???,bm也可由向量组a1,a2,???,am线性表示，因为：例1．已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T, 线性无关，试将它们正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令 b1=a1=(1, 1, 1, 1)T =(3, 3, -1, -1)T =(2, 2, -2, -2)T =(-1, 1, -1, 1)T (1, 1, 1, 1)T 此时 b1, b2, b3 为正交组. 下页 (2)再将正交化后的向量组标准化，即令此时 ?1,?2,?3 即为所求标准正交组. 说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化. 下页